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Kombinatorik - ein Exkurs

Permutationen

1. Permutationen (Gesamtheit, mit Berücksichtigung der Reihenfolge)

P n = n !

P steht hier nicht für Wahrscheinlichkeit, sondern für Permutation. Berechnet wird die Fakultät von n ( n ! ) als:

n ! = 1 · 2 · ... ( n - 2 ) · ( n - 1 ) · n

Beispiel

10 Kandidaten starten zum 110-Meter-Hürdenlauf und kommen in einer bestimmten Reihenfolge durch das Ziel. Die tatsächliche Platzierung der Läufer entspricht einer der möglichen Anordnungen. Wieviele mögliche Reihenfolgen gibt es? Die Lösung:

n = 10 ; n ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 3.628.800

Es gibt 3.628.800 mögliche unterschiedliche Zieleinläufe beim 110-Meter-Hürdenlauf mit 10 Teilnehmern.

2. Permutation mit Wiederholung (Gesamtheit, Ziehung mit Zurücklegen, mit Berücksichtigung der Reihenfolge)

P n = n ! k 1 · k 2 · ... · k n !

Mindestens zwei Elemente der Ausgangsmenge sind identisch, d.h. die Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich nicht alle voneinander. Es müssen alle (N) Elemente ausgewählt werden. Ein Individualelement kann nicht mehrmals ausgewählt werden, ein Element mit gleicher Eigenschaft hingegen schon. Liegen z.B. zwei rote Kugeln in der Ausgangsmenge, so muss jede der beiden roten Kugeln ausgewählt werden (Wiederholung), eine dritte rote Kugel kann aber nicht ausgewählt werden.

Beispiel

Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es, alle Buchstaben des Wortes ANAGRAMM in unterschiedlicher Reihenfolge anzuordnen? Die Lösung:

Anzahl aller Buchstaben: n = 8 ; Häufigkeit einzelner Buchstaben: k 1 = A = 3 , k 2 = N = 1 , k 3 = G = 1 , k 4 = R = 1 , k 5 = M = 2 ; P = 8 ! ÷ ( 3 ! · 1 ! · 1 ! · 2 ! · 1 ! ) = 8 ! ÷ ( 3 ! · 2 ! ) = 40320 ÷ 12 = 3360

Es gibt also 3360 unterschiedliche, jeweils 8 Buchstaben umfassende Worte, die unter der Verwendung aller Buchstaben des Wortes ANAGRAMM gebildet werden können.

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