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Praktikum Wärmetransport (Einfluss Strömungsverhalten)

Wärmetransport durch Leitung, Konvektion und Strahlung

Wärmetransport durch Wärmeleitung

In der Technik ist der Wärmetransport durch Wärmeleitung weit verbreitet, beispielsweise um Reaktoren zu kühlen oder zu heizen. Man nutzt ein Temperaturgefälle - warm/kalt - zur Erzeugung eines Wärmestroms. Zur mathematischen Beschreibung dieser Vorgänge werden die Fourier-Gleichungen benutzt.

Nach J. B. J. Fourier folgt für die in der Zeit t durch eine Wand mit der Fläche A und der Wanddicke z geleitete Wärmemenge:

Q · = λ A d T d z

Der in der Gleichung enthaltene Proportionalitätsfaktor heißt Wärmeleitfähigkeitskoeffizient λ. Er beschreibt die Wärmeleitfähigkeit der Wand und ist ein stoffspezifischer Wert. Die obige Gleichung gilt nur für einen zeitlich konstanten Wärmestrom (stationäre Wärmeleitung). Bei instationärer Wärmeleitung ist der Wärmestrom zeitlich nicht mehr konstant. Von der Wand wird nicht mehr soviel Wärme aufgenommen wie abgegeben, so dass eine Wärmespeicherung und damit eine zeitliche Änderung des Temperaturprofils innerhalb der Wand entstehen kann. In diesem Fall gilt die 2. Fourier-Differentialgleichung:

δ T δ t = λ ρ c p δ 2 T δ z 2

δT/δt partieller Differentialquotient (räumliche und zeitliche Temperaturänderung)

Für die Wärmeleitung durch eine ebene Wand der Dicke z gilt - sofern T1 > T2 - die Gleichung für den Wärmestrom.

Q · = λ Δ z A ( T 2 T 1 )

Durch Umstellung dieser Gleichung erhält man den spezifischen Wärmeleitwiderstand R.

R = Δ z λ = A ( T 1 T 2 ) Q ·
Abb.1

Der Wärmestrom durch mehrschichtige gerade ebene Wände wird mit der nachfolgenden Gleichung beschrieben.

Q · = 1 Δ z 1 λ 1 + Δ z 2 λ 2 + Δ z 3 λ 3 A ( T 1 T 4 )

Durch Umstellung der Gleichung erhält man wiederum den spezifischen Wärmeleitwiderstand Rges .

R ges = A ( T 1 T 4 ) Q · = ( Δ z 1 λ 1 + Δ z 2 λ 2 + Δ z 3 λ 3 )

Ein typisches Beispiel für die Wärmeleitung durch eine mehrschichtige gerade ebene Wand ist eine Mauer, die einen Innen- und einen Außenputz besitzt.

Gekrümmte Wände mit kleinen Wandstärken können rechnerisch angenähert wie ebene Wände behandelt werden. Für große Wandstärken und bei Isolierungen ist diese Näherung nicht zulässig.

Für einschichtige gekrümmte Heizflächen berechnet sich der Wärmestrom nach der 1. Fourier-Gleichung. Bei zylindrischen Heizflächen (Rohren) mit einem Innenrohrdurchmesser 2 r 1 und einem Außenrohrdurchmesser 2 r 2 wird die entsprechende Zylinderfläche (l = Rohrlänge) eingeführt.

Q · = λ A d T d r Q · = λ 2 π r l d T d r
Abb.2

Für die zylindrische Heizfläche erfolgt die Berechnung nach der Integration des Wärmestroms wie folgt:

Q · = λ 2 π l ( T 2 T 1 ) ln r 2 r 1

Der Wärmeleitwiderstand für die einschichtige Zylinderwand ist in der nächsten Gleichung dargestellt.

R = 2 π l ( T 1 T 2 ) Q · = ln r 2 r 1 λ

Für mehrschichtige Zylinderwände (z.B. beschichtete Rohre) berechnet sich der Wärmestrom gemäß der folgenden Gleichung.

Q · = 2 π l ( T 1 T 4 ) 1 λ 1 ln r 2 r 1 + 1 λ 2 ln r 3 r 2 + 1 λ 3 ln r 4 r 3

Beim Wärmeleitwiderstand Rges addieren sich, wie bei der mehrschichtigen Wand, die einzelnen Wärmeleitwiderstände. Für ein dreischichtiges Rohr mit r1<r2<r3<r4 und T4<T1 ist der Wärmeleitwiderstand in der nächsten Formel dargestellt.

R ges = 2 π l ( T 1 T 4 ) Q · = ( 1 λ 1 ln r 2 r 1 + 1 λ 2 ln r 3 r 2 + 1 λ 3 ln r 4 r 3 )

Wärmetransport durch Konvektion

Beim konvektiven Wärmetransport wird die Wärmeenergie durch Mitführung und Bewegung von Materie übertragen. Grundsätzlich werden zwei Arten der Konvektion unterschieden:

Freie Konvektion: Die Bewegung der Materieaggregate erfolgt durch Dichteunterschiede im Medium. Erzwungene Konvektion: Die Konvektion des Mediums wird durch Rühren oder Umpumpen verursacht.

Wärmetransport durch Strahlung

Abb.3

Zwei undurchlässige, voneinander durch ein völlig durchlässiges Medium (z.B. Luft) getrennte Festkörper unterschiedlicher Temperatur (T1, T2) tauschen unabhängig vom Abstand beider Körper gegenseitig Energie (E1, E2) durch Strahlung aus. Hierbei gibt der wärmere Körper mehr Energie (E1) als der kältere (E2) ab, so dass insgesamt Energie vom wärmeren an den kälteren Körper übergeht.

Die wesentliche Größe der aus C1 und C2 resultierenden gemeinsamen Strahlungszahl C1,2 hängt von den Strahlungszahlen der beiden Festkörper und der Lage der Flächen zueinander ab. Die experimentell ermittelten Strahlungszahlen der Einzelkörper (C1, C2) ergeben sich wiederum aus ε1=C1·Cs -1 und ε2=C2·Cs -1.

Berechnungen zum Wärmeübergang durch Strahlung

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