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Grundlagen der Versuchsplanung

Statistik in der Versuchsplanung

Gauß-Verteilung

Bei Ausführung eines Versuchs mit w Wiederholungen erhält man als Ergebnis die Zielgrößen y1, y2, ..., yw. Die Ergebnisse werden meist gemittelt und daraus erhält man den folgenden arithmetischen Mittelwert:

y ¯ = 1 w i = 1 w y i

Alle erhaltenen Zielgrößen weichen in unterschiedlichem Maße von diesem Mittelwert ab. Zum Vergleich und zur Bewertung von empirischen Verteilungen werden die folgenden statistischen Größen herangezogen:

Empirische Streuung oder Varianz:

s 2 = ( 1 ( w 1 ) ) ( y i y ¯ ) 2

Empirische Standardabweichung:

s = + s 2

Dabei stellen die empirische Streuung (als Maß für die Ausbreitung der Verteilung) und der arithmetische Mittelwert Näherungswerte für die Parameter der zugrunde liegenden theoretischen Verteilung µ (wahrer Mittelwert) und σ² (wahre Varianz) dar.Bei einer sehr großer Anzahl von durchgeführten Versuchen, deren Ergebnisse als Häufigkeit in eng begrenzten Klassen der Mittelwerte über y auftragen werden, würde man eine Häufigkeitsverteilung in Form einer angenäherten Glockenkurve erhalten. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird als Gauß- oder Normalverteilung, mit den Parametern µ als Symmetrieachse und σ als Wendepunkte der Kurve, bezeichnet. Die Kurve ist umso höher und steiler, je kleiner σ ist. Die Dichtefunktion der Normalverteilung lautet wie folgt:

f ( x ) = 1 σ 2 π exp [ 1 2 ( x μ σ ) 2 ] für: < x < , σ > 0

Die experimentell ermittelten Werte stellen eine Stichprobe aus der unendlichen Grundgesamtheit dar. Mit steigender Anzahl von Versuchen nähert man sich dem wahren Mittelwert µ und der wahren Varianz σ² der unbekannten theoretischen Verteilung. Durch erhöhten Versuchsaufwand ist eine Steigerung der Genauigkeit des Mittelwertes (Verkleinerung seiner Standardabweichung) zu erreichen. Mit wachsendem Stichprobenumfang lässt sich dagegen die empirische Standardabweichung der Einzelmessungen nicht systematisch verändern. Man erhält aber einen statistisch besser gesicherten Schätzwert für σ der unbekannten theoretischen Verteilung.

Abb.1
Gauß- oder Normalverteilung

In der Abbildung gibt die schraffierte Fläche unter der Kurve die Wahrscheinlichkeit P an, mit der ein Wert y kleiner oder gleich einem vorgegebenen Grenzwert ygrenz ist.

68,27 % der Messwerte liegen im Bereich µ+σ bis µ-σ95,45 % der Messwerte liegen im Bereich µ+2σ bis µ-2σ 99,73 % der Messwerte liegen im Bereich µ+3σ bis µ-3σ

In der statistischen Auswertung von Experimentalergebnissen wird auf Normalverteilung der Zielgrößen geprüft. Weiterhin sind die Messwerte auf so genannte Ausreißer z.B. nach der 3σ-Regel zu testen. Man geht dabei wie folgt vor:

  • Berechnung des arithmetischen Mittelwertes und der Standardabweichung,
  • Berechnung der Beträge der Abweichungen (yi - arithmetischer Mittelwert),
  • Verwerfen der Werte, falls die Beträge der Abweichungen größer als die Standardabweichung sind.

Da die experimentellen Untersuchungen nur Stichproben der unbekannten theoretischen Verteilung liefern, werden die statistischen Tests nicht mit der Gauß-Verteilung, sondern im Allgemeinen mit abgeleiteten Verteilungen durchgeführt.

t-Verteilung nach Student

Bei einer geringen Anzahl von Versuchen sind die mit dem arithmetischen Mittelwert und der empirischen Standardabweichung geschätzten wahren Werte µ und σ der unbekannten theoretischen Verteilung zu unsicher. Durch Einbeziehen der Anzahl der Versuche über die Anzahl der Freiheitsgrade f wird diese Tatsache in der t-Verteilung berücksichtigt. Die Verteilung hat einen ähnlichen Kurvenverlauf wie die Normalverteilung, ist aber breiter. Die Anzahl der Freiheitsgrade f ist festgelegt durch die Anzahl der Versuchspunkte n minus der Anzahl der zu bestimmenden Parameter p.

Die t-Verteilung dient vor allem dem Vergleich von Mittelwerten (t-Test). Voraussetzung für die Anwendung der t-Verteilung ist die Gleichheit der Varianzen der Mittelwerte.

Zweiseitiger t-Test
Einseitiger t-Test

F-Verteilung nach Fisher

Abb.4
F-Verteilung nach Fisher

Die in der Abbildung dargestellte F-Verteilung stellt im Gegensatz zur Gauß-Verteilung eine unsymmetrische Verteilung dar. Mit der F-Verteilung werden Varianzunterschiede für z.B. 2 Stichproben aus der Grundgesamtheit geprüft (F-Test).

Das Verhältnis s1 zu s2 = F (mit s1 > s2) wird mit dem kritischen F-Wert (Signifikanzgrenze) verglichen. Der Streuungsunterschied ist zufällig (Nullhypothese H0), falls F kleiner oder gleich einem kritischen F-Wert ist (andernfalls ist er signifikant, Alternativhypothese HA). Der kritische F-Wert wird durch die Wahrscheinlichkeit P = 1 - α und die Anzahl der Freiheitsgrade (f1 = w1 -1; f2= w2 -1) ermittelt bzw. der entsprechenden Tabelle entnommen.

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