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Grundlagen der Versuchsplanung

Regressionsanalyse

Das Ziel der Regressionsanalyse ist die Bildung eines Modells (Regressionspolynom), das den Bereich der experimentell ermittelten Antwortfunktion beschreibt.

Im einfachsten Fall wird die wahre Antwortfunktion durch eine Geradengleichung: η=β01x wiedergegeben. Die experimentelle Zielgröße y weicht um den durch die Versuchsstreuung verursachten Betrag ε vom wahren Wert η ab (η=y+ε). Man berechnet die Schätzwerte b0 und b1 (entspricht den Parametern β0 und β1) aus der Zielgröße y für bestimmte x-Werte. Diese schließen die Versuchsstreuung ein. Die erhaltene Geradengleichung: ÿ=b0+b1x muss die Bedingung: Σεi2=Σ(yi-ÿi)2 = Minimum für alle Versuchsergebnisse erfüllen. Dann ist sie zur Beschreibung der Experimentalergebnisse und zur Vorhersage von Modellwerten innerhalb des Untersuchungsbereiches geeignet.

Regressionspolynom von 2m-Versuchsplänen

Aus 2m-Faktorenplänen 1. Ordnung erhält man gemischte Polynome ersten Grades. Diese setzen sich aus linearen Gliedern und Wechselwirkungsgliedern zusammen. Erfolgt eine Reduzierung des Versuchsplanes, so ergeben sich noch bilineare, trilineare und andere polylineare Glieder. Ein 2m-Faktorenplan erlaubt die Bestimmung von nur 2m Parametern (für einen Polynomgrad d größer oder gleich 2 gilt, pv>2m). Deshalb ist für einen 2m-Faktorenplan ein Modell anzusetzen, das weniger als pv Polynomterme enthält, also kein vollständiges Polynom mit dem Grad d ist und als degeneriertes Polynom bezeichnet wird. Die Bestimmung aller Wirkungen und aller linearen Wechselwirkungen ist gerade mit einem 2m-Faktorplan möglich, er wird als gesättigter Versuchsplan bezeichnet, da die Anzahl der Versuche n gleich der Anzahl der zu schätzenden Parameter p ist. Zur Berechnung der Parameter aus 2m-Faktorenplänen verwendet man anstelle der hier nachfolgend dargestellten, üblichen Gleichungen die unten aufgeführte, vereinfachte Beziehung:

b 0 = y i w n b ( x i w n ) = y ¯ b x ¯

b = x i y i x i y i w n x i 2 x i 2 w n

b = x y x 2

Die Berechnungsmatrix F im Faktorenplan ist orthogonal und normiert, somit ergibt sich die vereinfachte Gleichung. Durch die Orthogonalität begründet, sind die Glieder des Polynoms unabhängig additiv (nichtsignifikante Glieder dürfen ohne Änderung in den anderen Gliedern gestrichen werden).

Das vollständige Polynom mit allen 2-Faktor-Wechselwirkungen hat folgende Form:

y ˆ = b 0 + i = 1 m b i x i + i = 1 m j = i + 1 m b i j x i x j

Prüfung von Regressionspolynomen

Ziel ist es festzustellen, ob alle enthaltenen Glieder des Polynoms notwendig sind und ob es adäquat ist. Dazu ist die Berechnung der Versuchsstreuung erforderlich.

Prüfung auf Vernachlässigung der quadratischen Glieder: Zur Prüfung, wie groß der Anteil quadratischer Glieder in b0 ist, werden zusätzlich Versuchspläne mit Zentralpunkt durchgeführt. Man vergleicht dabei den Mittelwert aller Würfeleckpunktsversuche mit dem Mittelwert des Zentralpunktversuchs, um festzustellen, ob die quadratischen Glieder signifikant in b0 eingehen. Ist die erhaltene Differenz signifikant von null verschieden, so ist das lineare bzw. gemischte Polynom unzulänglich.

Signifikanzprüfung der Parameter: Allgemein gilt, dass für die Parameter b0, bi und aller Wechselwirkungsglieder die Varianz var{b}=s2=(1/(w·n)) s2=(1/Σ x2)·s2 ist, d.h. alle Parameter haben die gleiche Varianz.

Abb.1
Signifikanzprüfung der Parameter

Die Signifikanzprüfung der Parameter wird wie in der nebenstehenden Abbildung durchgeführt. Dabei werden nichtsignifikante Parameter aus dem Polynom gestrichen.

Prüfung auf Adäquatheit: Man wendet bei Faktorenplänen als Maß für die Güte eines Regressionspolynoms die Adäquatheitsprüfung an. Dabei wird der Modellfehler mit dem Versuchsfehler verglichen. Ergibt sich ein großer Modellfehler im Vergleich zum Versuchsfehler, so ist das Modell nicht adäquat. Zur Abschätzung des Versuchsfehlers ist es nötig, dass mehrere Wiederholversuche zu einem Versuchspunkt durchgeführt werden. Die folgende Berechnungsformel für die Adäquatheitsprüfung setzt an jedem der n Versuchspunkte wi(i=1,...,n) Versuche voraus. Es wird geprüft, ob die Ungleichung Fber=s2MF/s2VF=MF·f2/VF·f1<Ftab erfüllt ist. Bei Nichterfüllung ist das gewählte Regressionspolynom falsch.

Abb.2
Prüfung auf Adäquatheit

Prüfung auf Ausreißer: Dazu wird die Differenz zwischen Experimental- und Modellwerten kontrolliert. Bei Nichtübereinstimmung prüft man auf Signifikanz. Falls eine Differenz nicht signifikant ist, liegen keine Ausreißer vor und das Modell ist anwendbar.

Stellen sich dagegen eine oder wenige Differenzen als signifikant heraus, so sind wahrscheinlich Ausreißer vorhanden. Man überprüft die dazugehörigen Experimentalwerte. Existieren viele signifikante Differenzen ist das Modell nicht brauchbar.

Modellkorrektur durch Zusatzversuche

Abb.3
Modellkorrektur durch Zusatzversuche

Das erhaltene Modell gilt innerhalb des von allen Faktoren auf beiden Stufen (min/max-Wert), eingeschlossenen Raums. Mit Hilfe des Modells können Werte der Zielgröße im Gültigkeitsbereich vorausgesagt und ggf. experimentell überprüft werden. Zusätzliche Experimentalwerte setzt man zur Modellkorrektur oder Präzisionsverbesserung ein.

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