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Grundlagen der Versuchsplanung

Varianzanalyse

Man verwendet für Faktorenpläne mit qualitativen Einflussgrößen bevorzugt die Varianzanalyse und für Pläne mit quantitativen Einflussgrößen die Regressionsanalyse als Auswertemethode. Zuerst werden stets die allgemeinen statistischen Prüfungen (Prüfung auf Normalverteilung und Behandlung der Ausreißer) durchgeführt.

Prüfung auf Normalverteilung: Nur wenn die Zielgröße (Antwortgröße) y eine normalverteilte Zufallsgröße ist, sind viele statistische Tests erst anwendbar. Hierfür existieren diverse Prüfmethoden. In der Praxis wird meist überschlägig auf Normalverteilung durch einige Wiederholungsversuche an einem Versuchspunkt geprüft.

Abb.1
Prüfung aus Normalverteilung

Bei der Prüfung auf Normalverteilung kann man nach nebenstehenden Schema vorgehen. Ergibt die Prüfung auf Normalverteilung eine Abweichung, so muss durch Eliminieren von Ausreißern oder durch Transformation (Lageänderung des Mittelwertes) versucht werden, eine Normalverteilung zu erreichen.

Behandlung der Ausreißer: Werden extreme Messwerte yextrem erhalten, so ist zu prüfen, ob diese zur Messreihe gehören oder einen Messfehler darstellen. Dazu wird die Nullhypothese H0: yextrem ist kein Ausreißer; gegen die einseitige Alternativhypothese HA: yextrem ist zu groß oder zu klein getestet bzw. man wendet die 3σ-Regel an. Wird yextrem als Ausreißer erkannt, so versucht man die Ursachen zu ermitteln bzw. das Problem folgendermaßen zu lösen:

  • Fehlermessung (Wert wird verworfen)
  • nicht zu klären (Auswertung der Messreihe mit und ohne Ausreißer)

Varianzanalyse

Man untersucht den Effekt einer oder mehrerer Einflussgrößen auf eine oder mehrere Zielgrößen, vorzugsweise für qualitative Faktoren. Je nach Anzahl der zu betrachtenden Faktoren unterscheidet man die einfache, zweifache und mehrfache Varianzanalyse. Nach dieser Unterscheidung gehören die hier diskutierten 2-stufigen Versuchspläne zur mehrfachen Varianzanalyse.

Abb.2
Varianzanalyse

Die Gesamtvariabilität des Systems wird auf den Einfluss des jeweils veränderten Faktors und auf zufällige Einflüsse zurückgeführt. Man zerlegt die Quadratsumme der Abweichungen vom Mittelwert (QS). Dabei wird QS in die gleiche Anzahl von Bestandteilen zerlegt, wie Variationsquellen (Faktoren und Wechselwirkungen) vorhanden sind.

Abb.3
Ermittlung der Varianzanteile

Der Ausgangspunkt für die Zerlegung in die Varianzkomponenten ist QS(start). Sie werden auf QS(b0) und QS(gesamt) aufgeteilt. QS(gesamt) stellt die Varianzkomponenten für alle Faktoren und deren Wechselwirkung und einen Rest, der aus der Versuchsstreuung resultiert, dar. Wurden mehrere Zielgrößen untersucht, so ist für jede Zielgröße eine derartige Varianztabelle aufzustellen.

Versuchsstreuung: Die Versuchsstreuung s² ist ein Maß für die Reproduzierbarkeit der Versuche. Man erhält s² aus Wiederholungsversuchen, wobei immer eine vollständig unabhängige Wiederholung unter gleichen Versuchsbedingungen (also Versuche nach Neueinstellung der Versuchsparameter) anzustreben ist. Die Streuung der Wiederholungsversuche wird mit QM (innerhalb) bei der einfachen Varianzanalyse berechnet. Wenn bekannt ist, dass s² klein ist, wird man Versuche nur an einigen bevorzugten Versuchspunkten wiederholen und s² aus diesen Wiederholungen berechnen.

Signifikanztest: Hierbei wird der Vergleich der mittleren Quadratsummen QM der Variationsquellen (Faktoren und Wechselwirkungen) mit der Versuchsstreuung s² mittels F-Test genutzt. Bei Faktorenplänen entspricht s12 dem Wert QM der jeweiligen Variationsquelle (f1=1). Deshalb bildet man die Signifikanzgrenze nach FTab·s². Eventuell prüft man noch auf einem anderen Signifikanzniveau.

Signifikanztest
Beispiel für einen Signifikanztest

Das dargestellte Beispiel soll den Signifikanztest verdeutlichen. Hierbei liefert der Vergleich der ermittelten Signifikanzgrenze mit den Effekten der Varianztabelle die signifikanten Einflussfaktoren.

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