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Grundlagen der Versuchsplanung

Auswertung 2-stufiger Versuchspläne

Auswertung der Planmatrix

Zur Auswertung der Faktorenpläne wird die Planmatrix durch die Antwortmatrix, die Berechnungsmatrix und die Ergebnismatrix ergänzt und man erhält eine Gesamtmatrix.

Antwortmatrix Y: Die Ergebnisse (Zielgrößen, Antwortgrößen) der mittels Versuchsplan durchgeführten Untersuchungen y1, y2, ..., yn werden als Matrixspalten in der Antwortmatrix zusammengefasst.

Berechnungsmatrix F: Mit Faktorenplänen untersucht man die Einflüsse der Faktoren und die Wechselwirkungen der Faktoren auf die Zielgröße(n). Die Wechselwirkungen werden (wie auch die Faktoren) als unabhängige Variable aufgefasst. Bei 3 Faktoren lautet die Standardreihenfolge der unabhängigen Variablen:

Tab.1
Unabhängige Variablen
Unabhängige Variable x1 x2 x1x2 x3 x1x3 x2x3 x1x2x3

Dabei ist x1x2 ein Ausdruck für die Wechselwirkung zwischen den Faktoren x1 und x2, mathematisch gesehen ist x1x2 das Produkt zweier Matrixspalten. Die Haupt- und Wechselwirkungen werden somit in der Berechnungsmatrix erfasst. Diese wird wie folgt gebildet:

  • Kopf der Matrix entspricht der Standardreihenfolge der unabhängigen Variablen
  • Matrixspalten der Faktoren x1, x2, ...,xn werden aus der Planmatrix P übernommen und in die Spalten der Haupteinflüsse (x1, ..., xn) der Berechnungsmatrix eingetragen
  • Matrixspalten der Wechselwirkungen ermittelt man durch Multiplikation der entsprechenden Spalten der Einflussgrößen (z.B. Wechselwirkung x1x2 aus Einflussgröße x1 und x2: (-)·(-)=(+); (-)·(+)=(-) etc)

Mit dieser Vorgehensweise werden für das gewählte Beispiel alle Wechselwirkungen wie folgt erhalten:

Abb.1
Darstellung der Wechselwirkungen

Die Spalte der Antwortmatrix Y wird aus der Spalte yi1 der Messwerte entnommen. Vor der Spalte des Haupteinflusses x1 fügt man eine Matrixspalte mit "+" mit der Bezeichnung x0 ein. Damit ist die Matrix orthogonal und normiert.

Ergebnismatrix E: Die Berechnung wird wie folgt durchgeführt:

  • Die j-te Spalte von F wird mit der Antwort-Spalte (8 x 1-Antwortmatrix) multipliziert, das entspricht der Multiplikation der j-ten Zeile von FT mit der Antwortmatrix Y. Diese Spalte steht über der Spalte bj in der Ergebnismatrix.
  • Parameterschätzwerte bj, j=1,...,8: Die Summe wird durch die Anzahl n=8 der Versuche dividiert, die Zeile enthält die gesuchten Schätzwerte bj (der Index ist hier durchnummeriert von 1 bis 8) für die geweiligen Parameter β0, β1, β2, β3, β12, β13, β23 und β123 nach der Formel a=Ft·Yn.
Abb.2
Berechnung

Diese Berechnung erfolgt für alle Haupteinflüsse und Wechselwirkungen. Mit Hilfe der Spalte x0 erhält man in der zu bestimmenden Ergebnismatrix den Mittelwert der Antworten (Summe der Zielgrößen/Versuchszahl). Das entspricht dem Absolutglied b0 in der Regressionsgleichung. Die Gesamtmatrix, einschließlich der Ergebnismatrix, würde für unser Beispiel folgendermaßen aussehen:

Abb.3
Ergebnisse der Wechselwirkungen

Im der Ergebnismatrix können sowohl positive als auch negative Werte auftreten (positive Werte erhält man, wenn beim Übergang von der niedrigen zur höheren Stufe (Übergang min/max-Wert) die Zielgröße größer wird). Die jeweilige Spaltensumme (sp) der Ergebnismatrix dividiert durch die Hälfte der Anzahl der Versuche ergibt den Effekt des entsprechenden Faktors. Der Regressionsparameter bi des Faktors xi ist halb so groß wie sein Effekt. Das Regressionspolynom wird aus dem bj der Ergebnismatrix gebildet. Für unser Beispiel würde das vollständige Regressionspolynom formal wie folgt lauten:

y = 49,3 + 3,2x1 + 1,7x2 + 0,2x3 - 0,6x1x2 + 0,4x1x3 + 0,1x2x3 - 0,3x1x2x3.

Anhand der Zahlenwerte für den Einfluss der betreffenden Faktoren lässt sich abschätzen, ob dieser signifikant ist. In unserem Beispiel ist zu vermuten, dass der Einfluss x3 und die Einflüsse aller Wechselwirkungen nicht wesentlich sind. Die Schätzwerte bj der Parameter (Koeffizienten) des Regressionspolynoms sind aber noch auf Signifikanz zu prüfen. Man kann so wesentliche von unwesentlichen Einflussfaktoren trennen. In den nachfolgenden Versuchen sollte dann nur noch der Einfluss der wesentlichen Faktoren untersucht werden.

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