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Reaktorbilanz - Implizites Modell mit einer Zielgröße und einem (nichtlinearen) Parameter

Die Schlüsselkomponente einer einzigen Reaktion in einem stationär betriebenen idealen Strömungsrohr mit der Länge L bilanziert sich vereinfacht als gewöhnliche Differentialgleichung:

Abb.1
Bilanzgleichung

c: Konzentration der Schlüsselkomponente im Reaktor (Zielgröße) c0: Konzentration der Schlüsselkomponente am Reaktoreingang (Einflussgröße) u: Strömungsgeschwindigkeit v: Stöchiometrischer Koeffizient der Schlüsselkomponente r: Reaktionsgeschwindigkeit mit dem Parameter k (kinetische Konstante)

In vielen Fällen sind solche Differentialgleichungen nicht analytisch lösbar, d.h. es ist kein expliziter algebraischer Ausdruck c(z, c0, k) angebbar. Das Modell besteht hier aus einer Differentialgleichung mit Anfangsbedingung und wird als implizit bezeichnet. Für die Auswertung wird die Differentialgleichung numerisch von z=0 bis z=L integriert und das Ergebnis mit den Messwerten für c vergleichen.

Abb.2
Lösung der Bilanzgleichung

Eine Aussage, ob das Modell bezüglich des Parameters k linear oder nichtlinear (wichtig für den Versuchsplan) ist, zeigt die Differentialgleichung direkt nicht an. Aber schon der irreversible Fall A: Produkte mit einer Kinetik 1. Ordnung und konstanter Strömungsgeschwindigkeit u(z=0)=u0 ist bezüglich der Geschwindigkeitskonstante k nichtlinear.Die hier angebbare explizite Lösung c hat eine partielle Ableitung ck in der der Parameter k auftritt. Wird ein Ersatzparameter b definiert, dann entsteht das in b lineare Modell c=b· c0.Zu beachten ist, dass der Exponentialausdruck der negativen 1. Damköhlerzahl der neue Parameter b ist.