zum Directory-modus

Grundlagen der Versuchsplanung

Einführung

Definition und Ziele

Die Versuchsplanung beschäftigt sich mit der Planung von Versuchen, bei denen der Einfluss und die Wirkung mehrerer Faktoren auf eine Zielgröße untersucht werden sollen. Die Ziele der Versuchsplanung sind:

  • Minimieren des Versuchsaufwandes
  • Minimieren und Quantifizieren von Versuchsfehlern
  • Ermittlung von Wirkungen und Wechselwirkungen sowie deren Signifikanz
  • optimale Versuchsanordnung für mathematische Erfassung von Wirkungen und Einflussfaktoren

Begriffe der Versuchsplanung

Die Versuchsplanung unterscheidet bei einem angesetzten Modell f(x, y, b) = C lineare und nichtlineare Beziehungen zwischen dem Parameter b und der Zielgröße y. Der Vektor x umfasst die m unabhängigen Variablen (auch Einflussfaktoren, Faktoren, Einstellvariablen, Einflussgrößen). Das Symbol f bedeutet einen beliebigen mathematischen Ausdruck. Bei der linearen oder faktoriellen Versuchsplanung wird eine Funktion y(x, b) gesucht.

Modell f(x, y, b) = C f: Mathematischer Ausdruck z.B. eine Funktion x: Vektor der m Einflussgrößen (x1, ..., xm) y: Vektor der k Zielgrößen (y1, ..., yk) b: Vektor der p Parameter (b1, ..., bp) C: Konstante

Die unabhängigen Variablen bestehen aus 2 Gruppen.

Dem Einflussfaktor, der als experimentell erfassbarer Einfluss in den geplanten Versuchen gesteuert werden soll. Dazu zählen die in der Chemie und Physik messbaren Größen wie Druck, Temperatur, Konzentration oder Masse. Man unterscheidet quantitative Faktoren (dies sind skalierbare Größen, wie Druck p, Temperatur T, Konzentration c) und qualitative Faktoren (dies sind nicht skalierbare Größen, wie Katalysatortyp oder Methode A, B, C...). Die Störvariablen, die man wiederum in beobachtbare und nicht beobachtbare Störeinflüsse unterteilt. Die beobachtbaren und steuerbaren Einflüsse sind solche, die als Einfluss auf die Versuche erkannt werden. Dazu gehören u.a. unterschiedliche Untersuchungsmethoden der jeweiligen Labors oder der Versuchsbeteiligten. Beobachtbare, aber nicht steuerbare Einflüsse sind wetterbedingte Größen wie Luftdruck, Luftfeuchte oder Umgebungseinflüsse.Nicht beobachtbare Einflüsse sind diejenigen, die Versuchsfehler verursachen, aber sich nicht systematisch identifizieren oder erfassen lassen. Sie werden als Zufallsvariable mit einer angenommenen Verteilung aufgefasst.

Die abhängigen Variablen sind die Ergebnisse oder Zielgrößen.

Die Wirkungen charakterisieren nun das Zusammenspiel von Einflussfaktoren auf eine Zielgröße. Es wird zwischen Hauptwirkungen (Messergebnis, das auf den Einfluss eines Faktors basiert) und Nebenwirkungen (Messergebnis, das auf dem gleichzeitigen Einfluss mehrerer Faktoren basiert) unterschieden.

Beispiel für eine Hauptwirkung:

Abb.1

Wirkung des Faktors p: U(p2, T1) - U(p1, T1) = 20 %Wirkung des Faktors T: U(T2, p1) - U(T1, p1) = 10 %

Es liegen zwei eindeutige, voneinander unabhängige Hauptwirkungen vor, d.h. keine lokalen Optima vorhanden.

Beispiel für eine Wechselwirkung:

Abb.2

für T1: U(p2) - U(p1) = 20 %; aber für T2: U(p2) - U(p1) = 10 % für p1: U(T2) - U(T1) = 10 %; aber für p2: U(T2) - U(T1) = 0 %

Die Hauptwirkungen von T und p sind nicht unabhängig voneinander, die Abhängigkeit wird durch Wechselwirkungsglieder erfasst, d.h. es existieren lokale Optima.

Modellauswahl

Für die faktoriellen Versuchspläne sucht man einen einfachen mathematischen Zusammenhang zwischen der abhängigen Variablen y und den unabhängigen Variablen x = (x1,..., xm).Einfach heißt, dass die p Parameter linear eingehen und die Ausdrücke mit den Variablen x Polynome vom Grad d sind. Diese bezüglich der Parameter linearen Modelle bezeichnet man als Faktorenmodelle und die zugehörigen Versuchspläne als Faktorenpläne.

Reaktorbilanz - Implizites Modell mit einer Zielgröße und einem (nichtlinearen) Parameter

<Seite 1 von 8