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Herleitung von T

Abb.1

Gegeben bzw. gemessen werden die Größen x(t), x0 und Δy.

Für die Herleitung der Zeitkonstante T gehen wir wieder von dem Modell für eine Strecke mit Ausgleich 1. Ordnung aus:

x ( t ) = x 0 + Δ y K S ( 1 e t T )

Mit der Anfangsbedingung x0=0 ergibt sich die Sprungantwort der Regelstrecke zu:

x ( t ) = Δ y K S ( 1 e t T )

Die Übergangsfunktion h(t) ist die Antwort eines zuvor in Ruhe befindlichen Systems auf das Eingangssignal y=1 für t>=0 (y(t) ist dann der Einheitssprung).

h ( t ) = x ( t ) Δ y = K S ( 1 e t T )

normiert auf den Wert 1 ergibt sich:

h ¯ ( t ) = h ( t ) K S = 1 e t T h ¯ ( ) = 1

Die Tangentengleichung für eine Tangente an die Kurve zum Zeitpunkt t0 lautet:

h ¯ T = h ¯ ( t 0 ) + h ¯ · ( t 0 ) ( t t 0 ) 1. ) h ¯ ( t 0 ) = 1 e t 0 T 2. ) h ¯ · ( t 0 ) = 1 T e t 0 T

Nach den beiden Ersetzungen ergibt sich daraus:

h ¯ T = 1 e t 0 T + 1 T e t 0 T ( t t 0 )

Frage: Zu welchem Zeitpunkt t erreicht die Tangente im Ursprung der normierten Sprungantwort (t0=0) den Wert 1 (wann schneidet sie den Grenzwert der normierten Sprungantwort)? Um das zu ermitteln, setzen wir die entsprechenden Werte in die Tangentengleichung ein und lösen diese.

1 = 1 e t 0 T + t t 0 T e t 0 T 0 = e t 0 T + t t 0 T e t 0 T e t 0 T = t t 0 T e t 0 T

Setzen wir für t0=0 ein, so ergibt sich: t=T. Für t0=0 (Tangente im Ursprung) schneidet die Tangente den Grenzwert der normierten Sprungantwort zur Zeit t=T (T=Zeitkonstante). Diesen Sachverhalt macht man sich für die grafische Ermittlung von T zu Nutze.