zum Directory-modus

Grundlagen der Parameterschätzung/Optimierung

Anwendung des Nelder-Mead-Verfahrens

Um die Funktionalität des Nelder-Mead-Verfahrens zu demonstrieren, möchten wir sie hier an einigen Beispielen testen.

Unser erstes Beispiel soll nicht aus der Technischen Chemie stammen, sondern hierbei handelt es sich um die so genannte Bananen-Ellipsenfunktion.

Beispiel 1: Ellipsenfunktion (Bananenellipse)

Abb.1

Es ist eine häufig angewandte Testfunktion, um die Funktionalität nichtlinearer Optimiermethoden zu untersuchen.

Viele Optimiermethoden scheitern an dieser besonderen Funktion, da sie nicht nur ein gekrümmtes Tal besitzt, sondern z.B. eine horizontale Asymptote bei y=1,01 und wegen des hohen Grades bezüglich der Variable y weitere Extrema aufweist. Die Iterationen der Nelder-Mead-Methode überwinden diese Schwierigkeit durch die Kontraktion des Simplex und führen nach 34 Iterationen mit 68 Funktionsaufrufen zum Minimum (3;0,5). Die Daten zu den Iterationen enthält die folgende Tabelle.

Tab.1
Iterationen der Nelder-Mead-Methode
Simplex-Nr. (Iteration)xyBester FunktionswertStandardabweichung
Start01,0114,20
10-1,0114,207,5
21-1,025,834,0
31-1,025,833,5
41,87-0,281,583,9
51,87-0,281,581,9
............
343,00,50,00000010,0000001

Die angegebenen (x,y)-Werte gehören zum jeweils besten Eckpunkt des iterierten Simplex. Die aufeinander folgenden Iterationen starten auf 1, 2 auf 3 und 3 auf 4 erzielen zwar keinen besseren Eckpunkt als den besten aus der vorangegangenen Iteration, aber dafür wird der schlechteste Eckpunkt durch einen besseren ersetzt. Die Änderung des Wertes der Standardabweichung signalisiert diesen Schritt, er entspricht dem Suchprinzip der Nelder-Mead-Methode: "Der schlechteste Punkt ist durch einen besseren zu ersetzen".

Abb.2

Das Bild zeigt die in der Tabelle angegebenen besten Eckpunkte im jeweiligen Simplex und den Suchverlauf. Die Suche passt sich dem Verlauf der Talsohle an und spart unnötige Funktionsaufrufe. Eine Oszillation findet nicht statt, die Kontraktion verhindert ein Überschießen in eine scheinbar bessere Richtung. Das Bild zeigt auch die Asymptote für y=1,01 mit der Höhenlinie 14,20.

Seite 14 von 19