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Grundlagen der Parameterschätzung/Optimierung

Der goldene Schnitt

Der goldene Schnitt ist ein Beispiel für eine Suchstrategie, bei der ein vorgegebenes Intervall systematisch verkleinert wird, um ein Optimum einzuschließen. Für diese Suche werden nur Zielfunktionswerte verwendet, es handelt sich hierbei ebenfalls um ein ableitungsfreies Verfahren. Voraussetzung für den erfolgreichen Einsatz dieses Verfahrens ist, dass genau ein Maximum bzw. Minimum existiert. Diese Eigenschaft nennt man Unimodalität. Ist Unimodalität gewährleistet, kann das Suchintervall durch Vergleich der Zielfunktionswerte zweier innerer Punkte verkleinert werden. Anhand einer Minimumsuche wird nachfolgend das Verfahren erläutert.

Man beginnt mit der Festlegung eines Startintervalls (a;b). Nun wird dieses Intervall eingegrenzt, indem man innerhalb des Intervalls zwei Punkte wählt, die das Intervall im goldenen Schnitt teilen.

Startintervall:

Abb.1

Die Abbildung zeigt das Startintervall mit c und d als innere Punkte. Die inneren Punkte werden dabei wie folgt gewählt:

α = ( 5 1 2 ) c = α a n + ( 1 α ) b n d = ( 1 α ) a n + α b n

Zweites Intervall:

Abb.2

Die Abbildung zeigt das zweite Intervall mit e als neuen inneren Punkt.

Der beste der inneren Punkte wird dann ermittelt (hier d) und ein neues Intervall entsteht, indem die beiden dem besten Punkt nächsten Punkte beibehalten werden (hier c und b). Der beste Punkt bleibt innerer Punkt und ein zweiter innerer Punkt (hier e) wird ermittelt. Beide inneren Punkte haben dann den gleichen Abstand zur Intervallgrenze. Jetzt werden wieder die beiden inneren Punkte verglichen. Der Beste wird belassen und die ihm nächsten bilden das neue Intervall.

Der Name "goldener Schnitt" rührt aus den Verhältnissen der Intervalle zueinander. Sowohl die neu gebildeten Intervalle stehen zu ihren Vorgängern im Verhältnis des goldenen Schnitts als auch die inneren Intervalle zum äußeren. In der folgenden Animation sieht man das Verfahren des goldenen Schnitts an einer dreidimensionalen Minimumsuche.

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Abb.3
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