Ellipsenfunktion

Abb.1

Diese Funktion haben wir bereits im Beispiel 1 zum Nelder-Mead-Verfahren betrachtet. An dieser Stelle werden wir versuchen, mit der Methode des steilsten Abstiegs zum Ergebnis zu gelangen.

$\begin{array}{l}\mathrm{f(x)}={\left(x_1-x_2\right)}^2+\frac{{\left(x_1+x_2-1\right)}^2}{9}\\ \mathrm{grad(f(x))}={\left(2\left(x_1-x_2\right)+\frac{2\left(x_1+x_2-1\right)}{9}-2\left(x_1-x_2\right)+\frac{2\left(x_1+x_2-1\right)}{9}\right)}^T\end{array}$

Die Funktion f(x) ist bezüglich der Argumente zweidimensional, es liegen zwei unabhängige Variablen vor. Der Gradient ist daher ein Vektor mit zwei Elementen. Die zugehörige Funktion g(r) ist: g(r)=f(x−r·grad(f(x)))

$\begin{array}{l}\mathrm{g(r)}={\left(x_1-r\cdot \left(2\left(x_1-x_2\right)+\frac{2\left(x_1+x_2-1\right)}{9}\right)-\left(x_2-r\cdot \left(-2\left(x_1-x_2\right)+\frac{2\left(x_1+x_2-1\right)}{9}\right)\right)\right)}^2\\ +\frac{{\left(x_1-r\cdot \left(2\left(x_1-x_2\right)+\frac{2\left(x_1+x_2-1\right)}{9}\right)-\left(x_2-r\cdot \left(-2\left(x_1-x_2\right)+\frac{2\left(x_1+x_2-1\right)}{9}\right)\right)\right)}^2}{9}=\mathrm{Min!}\end{array}$

Hier wurden also für x₁ und x₂ aus f(x) die entsprechenden Gradienten eingesetzt. Nun wird das Minimum der Funktion g(r) bezüglich r bestimmt.

Bei g(r) handelt es sich um einen Polynom zweiten Grades, demzufolge ist ein Minimum zu erwarten.

Abb.2

Anhand der Graphen ist dies gut zu erkennen: g(r) besitzt ein Minimum und dieses befindet sich dort, wo der Anstieg dg(r)/dr gleich Null ist, da die Funktion ja an den Extrema weder fällt noch steigt.

Bestimmung der Gleichgewichtskonzentrationen zweier Reaktionen

Abb.3

Auch am Beispiel der Gleichgewichtskonzentrationen erkennt man das Prinzip des steilsten Abstiegs. Da es ziemlich aufwändig wäre, die zugehörige Funktion hier explizit aufzuführen, möchten wir nur erwähnen, dass sie bezüglich r ein Polynom 6. Grades ist, also 5=6-1 Extrema aufweisen kann. g(r), in oberen Diagramm (Abb. 2) , zeigt uns genau diese fünf Extrempunkte. Diese liegen auf den Nullstellen der Ableitung der Funktion, wie im unteren Diagramm zu sehen ist.