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Grundbegriffe der Symmetrie und Molekülstrukturen

Hintereinanderausführung von Symmetrieoperationen

Werden zwei (nicht notwendig voneinander verschiedene) Symmetrieoperationen hintereinander ausgeführt, entsteht eine Abbildung, die ebenfalls eine Symmetrieoperation ist.

Vereinbarung
Zur Schreibweise: Die Hintereinanderausführung wird mit dem Operationszeichen × bezeichnet, wir vereinbaren, dass die zuerst ausgeführte Symmetrieoperation rechts und die zweite links vom Operationszeichen geschrieben wird.
Abb.1
Cyclopentadienylanion C5H5 -

Das Cyclopentadienylanion C5H5 - besitzt als Symmetrieelement eine Drehachse mit den Symmetrieoperationen Drehung um 72°, um 144°, um 216°, um 288° und um 360°. Werden zwei beliebige Symmmetrieoperationen hintereinander ausgeführt (dargestellt im linken Modell), gibt es genau eine Symmetrieoperation, die das Molekül äquivalent abbildet (dargestellt im rechten Modell). Hinweis: Zur besseren Vergleichbarkeit wurde ein Wasserstoffatom eingefärbt.

Im Beispiel ist zu erkennen, dass dass die Hinteinanderausführung zweier Symmetrieoperationen, deren Drehwinkelsumme größer als 360° ist, einer Drehung mit einem Drehwinkel kleiner bzw. gleich 360° entspricht (Beispiel: Eine Drehung um 144° und um 288° ergeben als Gesamtdrehung 432° und entsprechen einer Drehung um 72°). Ein solches Verhalten wird in der Mathematik als Restklassenbildung bezeichnet.

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