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Doppelzählung von Symmetrieoperationen

Da Symmetrieoperationen spezielle Bewegungen des Anschauungsraumes R 3 sind, werden generell alle Punkte des Raumes transformiert und nicht nur die einer darin einbeschriebenen Figur F . Zwei Symmetrieoperationen sind genau dann gleich, wenn bei beiden Operationen alle Punkte des Anschauungsraumes R 3 auf dieselben Bildpunkte abgebildet werden. Dieser Gesichtspunkt ist wesentlich, um bei der Ermittlung von Symmetrieoperationen einer Figur Doppelzählungen und Auslassungen zu vermeiden.

Beispiel 1:

Die Drehung von R 3 um eine Symmetrieachse C1 (Drehwinkel ϕ = ) und die Einheitsoperation e (das "in Ruhe lassen") stellen ein und dieselbe Symmetrieoperation dar, denn sie erzeugen beide das identische Bild des Raumes: Jeder Raumpunkt wird auf sich selbst abgebildet.

Beispiel 2:

In R 3 sei als Figur F ein Quadrat einbeschrieben. Die Spiegelung σ an der Ebene, die das Quadrat enthält, und die Einheitsoperation e sind zwei verschiedene Symmetrieoperationen. Die Abbildungsvorschrift der Punkte der Figur F ist zwar die gleiche (jeder Punkt von F wird auf sich selbst abgebildet), nicht aber die der übrigen Raumpunkte: Bei σ wird jeder Raumpunkt oberhalb von F in einen unterhalb von F (und vice versa) abgebildet, während bei e jeder Raumpunkt auf sich selbst abgebildet wird.