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Drehsymmetrien

Vertiefung

Potenzen von Cn

Die Hintereinanderausführung (Potenzbildung) derselben Drehsymmetrieoperation an ein und derselben Symmetrieachse ist wieder eine Drehsymmetrieoperation. D. h., die m -fache Wiederholung von Cn ergibt die Symmetrieoperation Cnm. Man spricht in diesem Zusammenhang von Potenzbildung. Da die Symmetrieoperation Cn einer Drehung um den Winkel ϕ = / n entspricht, sind an einer Symmetrieachse Cn alle Drehungen um ϕ = m · / n ( m ist eine natürliche Zahl) zulässig.

Ordnung von Cn

Die n -fache Hintereinanderausführung der Symmetrieoperation Cn (Drehwinkel: ϕ = / n ) entspricht einer Drehung um 2 π , also der Einheitsoperation: Cnn = C1e. Die Ordnung von Cn ist ist n .

Aufgabe

Zulässige Symmetrieoperationen an einer n -zähligen Symmetrieachse

Um Doppelzählungen von Symmetrieoperationen zu vermeiden, ist zu beachten, dass Drehungen Cnm' mit m ' > n einer Drehung Cnm mit m n entsprechen. Somit sind an einer Symmetrieachse Cn genau n Symmetrieoperationen zulässig:

Tab.1
Drehung Cn Cn2 Cn3 Cnn-1 e
Drehwinkel / n / n / n ( n - 1 ) · / n

Doppelzählung von Symmetrieoperationen

Beispiel

Zwei Drehungen an einer vierzähligen Symmetrieachse C4 um 90° (Symmetrieoperation C4) und um 450° (C45) stellen ein und dieselbe Symmetrieoperation dar, denn bei beiden Transformationen werden alle Raumpunkte auf dieselben Bildpunkte abgebildet. Das wird offensichtlich, wenn C45 in eine Hintereinanderausführung einer Drehung C1e und einer Drehung C4 zerlegt wird (C45 = C4 × e = C4).

Koexistierende Symmetrieelemente

Symmetrieachsen Cn können Symmetrieachsen kleinerer Zähligkeit Cm ( m < n ) enthalten. Das ist genau dann der Fall, wenn m Teiler von n ist. Wenn n eine Primzahl ist, dann koexistieren mit der n -zähligen Symmetrieachse Cn keine Symmetrieachsen geringerer Zähligkeit (abgesehen von der einzähligen Symmetrieachse C1).

Beispiel

Eine sechszählige Symmetrieachse C6 ist gleichzeitig auch zweizählige Symmetrieachse C2 und dreizählige Symmetrieachse C3. Zulässige Symmetrieoperationen an C6 : C6 ( ϕ = 60°), C3 ( ϕ = 120°), C2 ( ϕ = 180°), C32 ( ϕ = 240°), C65 ( ϕ = 300°), e ( ϕ = 360°). Zulässige Symmetrieoperationen an C2 : C2 ( ϕ = 180°), e ( ϕ = 360°). Zulässige Symmetrieoperationen an C3 : C3 ( ϕ = 120°), C32 ( ϕ = 240°), e ( ϕ = 360°).

Unpolare und polare Symmetrieachsen

Man unterscheidet zwischen unpolaren und polaren Symmetrieachsen, je nachdem, ob beide Richtungen der Achsen äquivalent sind oder nicht. Eine Achse Cn ist unpolar, wenn senkrecht zu ihr n Achsen C2 angeordnet sind, sie senkrecht auf einer Symmetrieebene steht oder das Molekül ein Symmetriezentrum i aufweist.

Festlegungen zur Wahl eines Koordinatensystems

Die Symmetrieachsen höchster Zähligkeit heißen Hauptsymmetrieachsen. Ein Koordinatensystem wird im Allgemeinen so orientiert, dass der Ursprung im Schwerpunkt des Moleküls liegt und dass eine Hauptsymmetrieachse kollinear zur z -Achse verläuft.

Zur Hermann/Mauguin-Symbolik von Symmetrieachsen

Nach Carl Hermann und Charles V. Mauguin werden Symmetrieachsen einfach mit der Zahl bezeichnet, die ihrer Zähligkeit entspricht. Das allgemeine Symbol ist X .

Tab.2
Schoenflies-SymbolHermann/Mauguin-Symbol
Cn X
C4 4
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