Michaelis-Menten-Gleichung und Steady-state-Kinetik

Von einem Steady-state-Zustand spricht man dann, wenn ${\mathit{k}}_1={\mathit{k}}_{-1}>{\mathit{k}}_2$ gilt; dabei halten sich die Bildung und der Zerfall des ES-Komplexes nahezu die Waage. Infolge dieser Konstanz beobachtet man eine lineare Abnahme des Substrates, bzw. Zunahme des Produktes (Reaktion 0. Ordnung in Bezug auf das Substrat). Die quantitative Beziehung zwischen Substratkonzentration und Geschwindigkeit einer einfachen irreversiblen Enzymsubstratreaktion wird durch eine Gleichung dargestellt, die ursprünglich 1925 von Briggs und Haldane entwickelt und später von Maud Menten und Leonor Michaelis noch weiter definiert wurde. Diese sogenannte Michaelis-Menten-Gleichung beschreibt die Abhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit einer Enzymreaktion von der Konzentration des Enzyms und von der Konzentration des Substrates $[S]$:

$$v_0=\frac{v_{\text{max}}\cdot [S]}{K_m+[S]}$$

Genauer gesagt, gibt sie Aufschluss über den Zusammenhang zwischen der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$, der maximalen Geschwindigkeit $v_{\text{max}}$ und der anfänglichen Substratkonzentration. $v_{\text{max}}$ wiederum ist abhängig von Reaktionsbedingungen wie pH und Temperatur. $v_0$ bezeichnet die Geschwindigkeit der Reaktion bevor 10 % des Substrates umgesetzt sind.

Anfangsgeschwindigkeiten werden aus Substrat-Zeit-Diagrammen erhalten. Man bestimmt die Steigungen verschiedener Substrat-Anfangskonzentrationen an der Stelle $t=0$.

$$v=v_0=v(t=0)=-\frac{\Delta {[S]}_0}{\Delta t_0}$$

Die Michaelis-Menten-Gleichung enthält zwei Konstanten:

• Die Michaelis-Menten-Konstante $K_m$ kann experimentell gemessen werden.$$\begin{array}{l}v=\frac{v_{\text{max}}\cdot [S]}{K_m+[S]}\text{wenn}\text{v=}\frac{\text{1}}{\text{2}}{v}_{\text{max}}\\ \Rightarrow \frac{1}{2}{v}_{\text{max}}=\frac{v_{\text{max}}\cdot [S]}{K_m+[S]}\\ \Rightarrow K_m=[S]\end{array}$$Über die Michaelis-Menten-Gleichung ist $K_m$ definiert als Substratkonzentration, bei der das Enzym mit halbmaximaler Geschwindigkeit arbeitet. $K_m$ gibt damit die Substratkonzentration an, bei der die Hälfte der aktiven Zentren besetzt ist. Die Kenntnis der Michaelis-Menten-Konstanten $K_m$ eines bestimmten Enzyms ermöglicht also die Untersuchung metabolischer Reaktionen: Kennt man den $K_m$-Wert eines Enzyms, so lässt sich für jede beliebige Substratkonzentration der Anteil der besetzten aktiven Zentren bestimmen.Die Michaelis-Menten-Konstante steht in Bezug zur Dissoziationskonstanten $K_m$ und gibt damit Hinweise auf die Affinität des Substrates (geringe $K_m$-Werte kennzeichnen eine hohe Affinität).$$K_m=\frac{{\mathit{k}}_{-1}+{\mathit{k}}_2}{{\mathit{k}}_1}=\frac{{\mathit{k}}_{-1}}{{\mathit{k}}_1}+\frac{{\mathit{k}}_2}{{\mathit{k}}_1}=K_S+\frac{{\mathit{k}}_2}{{\mathit{k}}_1}$$
• Die andere Konstante ist ${\mathit{k}}_{\text{cat}}$, die katalytische Konstante, die die Umsatzgeschwindigkeit des Enzyms beeinflusst. ${\mathit{k}}_{\text{cat}}$ wird - im Gegensatz zu $K_m$ - nicht unmittelbar, sondern indirekt bestimmt. Dies setzt die Kenntnis der molaren Menge des eingesetztes Enzyms voraus.$${\mathit{k}}_{\text{cat}}=\frac{v_{\text{max}}}{{[E]}_{\text{0}}}=\frac{{\mathit{k}}_2{[E]}_0}{{[E]}_0}={\mathit{k}}_2$$

Das Verhältnis

$$\frac{{\mathit{k}}_{\text{cat}}}{K_m}$$

wird als katalytische Effizienz bezeichnet. Der Wert gilt als Maß der Substratspezifität; hohe Werte kennzeichnen eine hohe Substratspezifität.

Die Auswertung und die Darstellung der Daten mittels der Michaelis-Menten-Gleichung ist für die Kinetik dieser Reaktion von zentraler Bedeutung.