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Herleitung

Die reversible Enzymreaktion wird in zwei irreversible Enzymreaktionen zerlegt.

S+ E k-1k1 ES k2 P+ E
v Hin = v max Hin [ S ] K m Hin + [ S ] K m Hin = k 1 + k 2 k 1 v max Hin = k 2 [ E ] 0 = k cat Hin [ E ] 0
v Hin = Reaktionsgeschwindigkeit der Hinreaktion [ E ] 0 = Enzymkonzentration am Anfang k cat Hin = katalytische Konstante der Hinreaktion (Wechselzahl)
P+ E k2k-2 ES k-1 S+ E
v Rück = v max Rück [ P ] K m Rück + [ P ] K m Rück = k 1 + k 2 k 2 v max Rück = k 1 [ E ] 0 = k cat Rück [ E ] 0
v Rück = Reaktionsgeschwindigkeit der Rückreaktion k cat Rück = katalytische Konstante der Rückreaktion (Wechselzahl)

Die Gesamtreaktionsgeschwindigkeit ist dann die Differenz von Hin- und Rückreaktionsgeschwindigkeit.

v = v Hin v Rück = v max Hin [ S ] K m Hin + [ S ] v max Rück [ P ] K m Rück + [ P ] = v max Hin [ S ] ( K m Rück + [ P ] ) v max Rück [ P ] ( K m Hin + [ S ] ) ( K m Hin + [ S ] ) ( K m Rück + [ P ] ) = K m Rück v max Hin [ S ] + v max Hin [ S ] [ P ] K m Hin v max Rück [ P ] v max Rück [ S ] [ P ] K m Hin K m Rück + K m Hin [ P ] + K m Rück [ S ] + [ S ] [ P ]

Wenn k 1 > > k 2 und k 1 > > k 2 bildet sich mit [ E S ] = const . ein sogenannter quasistationärer Zustand (steadystate). Die Differenz der Terme mit [S][P] ist dann sehr klein und kann vernachlässigt werden.

v = K m Rück v max Hin [ S ] K m Hin v max Rück [ P ] K m Hin K m Rück + K m Hin [ P ] + K m Rück [ S ] = v max Hin K m Hin [ S ] v max Rück K m Rück [ P ] 1 + [ S ] K m Hin + [ P ] K m Rück

Im Gleichgewicht ist v = 0 und man erhält nach Umstellen

K eq = [ P ] eq [ S ] eq = K m Rück v max Hin K m Hin v max Rück = K P K S

mit

K S = [ S ] eq [ E ] eq [ E S ] eq = k 1 k 1 K P = [ E ] eq [ P ] eq [ E S ] eq = k 2 k 2