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Herleitung der Gleichung der Schwingungsfrequenz

Schwingungen von Molekülen können in erster Näherung mit dem einfachen Modell des harmonischen Oszillators beschrieben werden. Grundlage hierfür ist zunächst die klassische Mechanik. Im ersten Schritt betrachtet man eine Masse, die an einer Feder befestigt ist. Die Feder befindet sich an einem unbeweglichen Gegenstand.

Abb.1
ungedämpfter Federschwinger

Zieht man die Masse aus ihrer Gleichgewichtslage, dann wirkt eine rücktreibende Kraft entgegen:

- F = k Δ r F - rücktreibende Kraft k - Kraftkonstante der Feder Δ r - Auslenkung der Feder

Die dazugehörige Energiefunktion lautet:

E = 1 2 k Δ r 2

Diese Funktion hat die Form einer Parabel. Die potentielle Energie erreicht ihr Maximum, wenn die Feder maximal ausgedehnt bzw. maximal zusammengedrückt wird. Die potenzielle Energie ist dagegen Null, wenn sich die Feder in ihrer Gleichgewichtslage befindet.

Abb.2
Energiefunktion des ungedämpften Federschwingers

Zur Beschreibung der Schwingungsfrequenz dieser Bewegung mit Hilfe der klassischen Mechanik geht man vom Newton'schen Gesetz aus:

F = m a F - Kraft m - Masse a - Beschleunigung

Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit:

a = d 2 Δ r d t 2

Damit ergibt sich für die Kraft F:

F = m d 2 Δ r d t 2

Setzt man für F den Term k Δ r ein, dann folgt:

k Δ r = m d 2 Δ r d t 2

Die Lösung dieser Differenzialgleichung lautet:

Δ r = A cos ( 2 π ν t )

Die 2. Ableitung ergibt:

d 2 Δ r d t 2 = 4 π 2 ν 2 A cos ( 2 π ν t )

Damit ergibt sich für die Schwingungsfrequenz der Masse ν m :

ν m = 1 2 π k m

Soll die Schwingungsfrequenz für ein zweiatomiges Molekül bestimmt werden, so müssen die Massen beider Atome berücksichtigt werden:

ν = 1 2 π k ( 1 m1 + 1 m2 )