Anzahl und Arten von Molekülschwingungen

Ein System von N Atomen verfügt über 3N Bewegungsfreiheitsgrade. Bei den Translationsbewegungen in alle Raumrichtungen werden alle Atome in gleicher Weise verschoben, ihre gegenseitigen Abstände bleiben konstant. Die Translation kann mit den Gesetzen der kinetischen Gastheorie beschrieben werden. Die Translation verbraucht drei Freiheitsgrade. Für die Rotationsbewegungen gilt ebenfalls, dass sich die Atome nicht relativ zueinander verschieben. Für die Rotation eines Moleküls werden drei Freiheitsgrade verbraucht.

Die übrigen 3N-6 Freiheitsgrade beschreiben die Bewegungen zwischen den Atomen und repräsentieren dementsprechend die Zahl der möglichen Schwingungen des nichtlinearen Moleküls.

Bei linearen Molekülen liegen alle Atome auf einer Molekülachse. Eine Rotation um diese Molekülachse ist nicht möglich, da hier keine Bewegung der Atome zu beobachten ist. Für ein lineares Molekül sind zwei Freiheitsgrade für die Beschreibung der Rotation ausreichend, so dass die Zahl der möglichen Schwingungen 3N-5 beträgt.

Aufgabe zur Berechnung der Schwingungsfreiheitsgrade

Eine molekulare Streckschwingung lässt sich näherungsweise mit einem mechanischen Modell beschreiben.

Die Atome werden als Punktmassen mit den Massen ${\mathit{m}}_1$ und ${\mathit{m}}_2$ betrachtet. Diese sind durch eine elastische Feder verbunden.

Wird die Feder gedehnt, entsteht eine rücktreibende Kraft. Nach dem Hooke'schen Gesetz ist diese rücktreibende Kraft proportional der Auslenkung (${\mathit{r}}_{\mathit{max}}-{\mathit{r}}_{\mathit{min}}$):

$$\mathit{F}=-k({\mathit{r}}_{\mathit{max}}-{\mathit{r}}_{\mathit{min}})$$

Die Federkonstante $k$ wird als Kraftkonstante bezeichnet und gilt als Maß für die Bindungsstärke zwischen den Atomen H und Cl. Die Schwingungsfrequenz eines zweiatomigen Moleküls ergibt sich zu:

$$\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{k\left(\frac{1}{{\mathit{m}}_1}+\frac{1}{{\mathit{m}}_2}\right)}$$

Verwendet man statt der Massen ${\mathit{m}}_1$ und ${\mathit{m}}_2$ die reduzierte Masse $\mu$ in der Form:

$$\frac{1}{\mu }=\frac{1}{{\mathit{m}}_1}+\frac{1}{{\mathit{m}}_2}$$

dann ergibt sich für die Schwingungsfrequenz:

$$\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{\mu }}$$

Zweiatomige Moleküle können nur eine Schwingung ausführen. Für ein einzelnes Atom, welches Bewegungen in alle drei Raumrichtungen ausführen kann, sind zur Beschreibung dieser Bewegungen 3 Raumkoordinaten notwendig.

Herleitung der Gleichung der Schwingungsfrequenz