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Rotationsschwingungsspektren

Der harmonische Oszillator

Nach der Behandlung des Federkraftmodells betrachtet man nun ein System, das aus den Massen m1 und m2 besteht. Diese Massen sind durch eine Feder verbunden. Die Gleichung für die Schwingungsfrequenz der Masse aus dem Federkraftmodell muss nun so modifiziert werden, dass beide Massen m1 und m2 berücksichtigt werden. Dazu wird die reduzierte Masse μ eingesetzt:

1 μ = 1 m1 + 1 m2
ν m = 1 2 π k ( 1 m1 + 1 m2 ) = 1 2 π k μ

Das mechanische Modell beschreibt die Vorgänge auf molekularer Ebene nur unvollständig. Die Quantelung der Schwingungsenergien wurde bisher nicht berücksichtigt. Mit Hilfe der Quantenmechanik können die zulässigen Schwingungsenergien berechnet werden:

E = ( v + 1 2 ) h 2 π k μ v: Schwingungsquantenzahl v = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... E = ( v + 1 2 ) h ν m ν m : Schwingungsfrequenz aus dem mechanischen Modell

Aus dieser Gleichung geht hervor, dass ein Molekül immer schwingt (auch am absoluten Nullpunkt). Ist v = 0 , dann schwingt das Molekül immer noch mit der Energie 1 2 ν m . Diese Energie wird auch als Nullpunktsenergie bezeichnet. Die Auswahlregel für Schwingungsübergänge beim harmonischen Oszillator lautet Δ v = ± 1 . Der Abstand zwischen den benachbarten Energieniveaus ist immer identisch. Bei Raumtemperatur befinden sich die meisten Moleküle im Schwingungsgrundzustand ( v = 0 ).

Die Energie beträgt dann:

E0 = 1 2 h ν m

Wird das Molekül durch Anregung in den ersten angeregten Schwingungszustand ( v = 1 ) angehoben, dann ist die Energie:

E1 = 3 2 h ν m
E1 E0 = 3 2 h ν m 1 2 h ν m = h ν m

Genau die gleiche Energiedifferenz erhält man, wenn ein Molekül aus dem ersten angeregten Schwingungszustand ( v = 1 ) in den zweiten ( v = 2 ) gebracht wird.

E2 E1 = 5 2 h ν m 3 2 h ν m = h ν m

Das bedeutet, dass alle Linien bei einer Wellenzahl auftreten, egal um welche Übergänge es sich handelt.

Berechnung der Schwingungswellenzahl eines zweiatomigen Moleküls

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