Starres zweiatomiges Molekül

Das einfachste Modell zur Beschreibung von Rotationsübergängen ist das starre zweiatomige Molekül, auch als starrer Rotator bezeichnet. Beim starren Rotator sind zwei Atome mit den Massen ${\mathit{m}}_1$ und ${\mathit{m}}_2$ durch eine starre Bindung mit der Länge ${\mathit{r}}_0$ verbunden. Das Molekül dreht sich um den Schwerpunkt $S$, der auf der Bindung der Länge ${\mathit{r}}_0$ liegt. Das Trägheitsmoment des beschriebenen Moleküls bezogen auf den Schwerpunkt $S$ wird wie folgt definiert:

$$I=\frac{{\mathit{m}}_1{\mathit{m}}_2}{{\mathit{m}}_1+{\mathit{m}}_2}{{\mathit{r}}_0}^2$$

Der Ausdruck $\frac{{\mathit{m}}_1{\mathit{m}}_2}{{\mathit{m}}_1+{\mathit{m}}_2}$ ist die reduzierte Masse $\mu$ ($\frac{1}{\mu }=\frac{1}{{\mathit{m}}_1}+\frac{1}{{\mathit{m}}_2}=\frac{{\mathit{m}}_1+{\mathit{m}}_2}{{\mathit{m}}_1{\mathit{m}}_2}$) des Moleküls, so dass sich folgende Gleichung für das Trägheitsmoment des zweiatomigen starren Moleküls ergibt:

$$I=\mu {{\mathit{r}}_0}^2$$

Ein zweiatomiges Molekül gehört zu der Gruppe der linearen Kreisel. Bei der Rotation linearer Kreisel um die Molekülachse ist das Trägheitsmoment nahe Null ($I_{\text{A}}=0$). Die Trägheitsmomente der anderen beiden Rotationen, deren Achsen senkrecht zur Molekülachse angeordnet sind, haben den gleichen Wert ($I_{\text{B}}=I_{\text{C}}$). Dementsprechend lassen sich Rotationsübergänge eines zweiatomigen starren Moleküls mit folgender Gleichung beschreiben:

$${\mathit{E}}_{\mathit{rot}}=\frac{{\mathit{h}}^2}{8{\pi }^{2}I}J(J+1)$$

Die Rotationsquantenzahl $J$ kann die Werte $0\text{;}1\text{;}2\text{;...}$ annehmen. ${\mathit{E}}_{\mathit{rot}}$ hat die Einheit Joule. In der Spektroskopie arbeitet man häufig mit Wellenzahlen. Die Division der Rotationsenergie durch $\mathit{h}\cdot {\mathit{c}}_0$ ($\mathit{h}$: Planck'sches Wirkungsquantum, ${\mathit{c}}_0$: Lichtgeschwindigkeit) führt zum Rotationsterm $F\left(J\right)$ mit der Einheit ${\text{cm}}^{-1}$:

$$F\left(J\right)=\frac{{\mathit{E}}_{\mathit{rot}}}{\mathit{h}{\mathit{c}}_0}=\frac{\mathit{h}}{8{\pi }^2{\mathit{c}}_{0}I}J(J+1)$$

Der Ausdruck $\frac{\mathit{h}}{8{\pi }^2{\mathit{c}}_{0}I}$ wird als Rotationskonstante $B$ bezeichnet. $B$ ist für jedes Molekül unterschiedlich, hängt aber nur von der Größe des Trägheitsmomentes $I$ ab. Die Gleichung für den Rotationsterm $F\left(J\right)$ vereinfacht sich nun zu:

$$F\left(J\right)=BJ(J+1)$$

Diese Gleichung gibt die erlaubten Energieniveaus für die Rotation an, wenn man für $J$ entsprechende Werte einsetzt. Bei $J=0$ rotiert das Molekül überhaupt nicht. Bei $J=1$ beträgt der Wert des Rotationsterms $F\left(J\right)=2B$ usw. Aus der Schrödinger-Gleichung erhält man die Auswahlregel für die Rotationsquantenzahl $J$:

$$\Delta J=\pm 1$$

Absorbiert ein Molekül im Zustand $J=0$ Strahlung, dann kann es nur auf den Zustand $J=1$ angehoben werden. Die absorbierte Energie ist $2B$. Befindet sich ein Molekül im Zustand $J=1$, dann kann es auf $J=2$ angehoben werden. Die absorbierte Energie ist nun $4B$. Beim Übergang von $J=2$ auf $J=3$ beträgt die absorbierte Energie $6B$. In einem Rotationsspektrum sind also äquidistante Linien im Abstand von $2B$ zu erwarten:

$${\tilde{\nu }}_{\mathrm{J}}\to {\tilde{\nu }}_{\mathrm{J+1}}=2B(J+1)$$

Berechnung von Rotationskonstanten und Trägheitsmomenten starrer zweiatomiger Moleküle