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Quantenchemie - Das Wasserstoffmolekül

Quantenchemie: Berechnung der Energie

Zunächst berechnet man die Energie und bestimmt dann über zusätzliche Bedingungen die Koeffizienten.

Für die Energieberechnung macht man sich zunutze, dass für homogene Gleichungssysteme die Säkulardeterminante gleich Null sein muss. Die Säkulardeterminante sieht folgendermaßen aus:

Nach den Rechenregeln für Determinanten erhält man eine quadratische Gleichung für die Energie.

Im homonuklearen Fall des Wasserstoff-Moleküls vereinfacht sich die quadratische Gleichung, denn es gilt: Haa = Hbb. Damit erhält man zwei Lösungen der quadratischen Gleichung für die Energie.

Haa ist die Energie eines Elektrons im Feld des "eigenen" Kerns, Hab ist die Energie eines Elektrons im Feld beider Kerne.

Die Bildung der Molekülorbitale des Wasserstoff-Moleküls durch Linearkombination der Atomorbitale kann man auch wie folgt graphisch darstellen.

Abb.1
MO-Modell des Wasserstoffmoleküls

Mit den Energiewerten kann man jetzt die Koeffizienten bestimmen und damit die Gesamtwellenfunktion Ψ. Dazu setzt man die Energie E1 in eine der Gleichungen aus dem linearen Gleichungssystem ein.

Aus Umformungen der obigen Gleichung ergibt sich für die Energie E1 , dass die Koeffizienten ca und cb gleich sein müssen (für E2 ergibt sich ca = -cb). Das ist für den homonuklearen Fall des Wasserstoff-Moleküls auch erforderlich, da die Beiträge der Atomorbitale der Wasserstoff-Atome zu einem Molekülorbital gleich groß sein sollten.

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