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Quantenchemie - Das Wasserstoffmolekül

Quantenchemie: Bestimmung der Koeffizienten

Die Integrale Haa , Hbb , Hab , Saa können auf jeden Fall numerisch berechnet werden, da die Funktionen Φaa für die Atomorbitale bekannt sind.

Die Koeffizienten ci sind so zu bestimmen, dass E ein Minimum wird. Dazu berechnet man die partiellen Ableitungen der Energiefunktion nach den Koeffizienten und setzt diese gleich Null.

Mit der Quotientenregel ergibt sich für die einzelnen Ableitungen:

Da N endlich ist (1/N ist also immer ungleich Null), muss der Klammerausdruck Null sein, damit die Gleichungen erfüllt sind.

Setzt man die Klammerausdrücke aus der obigen Gleichung gleich Null, und ersetzt Z/N wieder durch E, dann erhält man das folgende Gleichungssystem.

Zähler und Nenner wurden nach den jeweiligen Koeffizienten abgeleitet. Der Faktor 2, der sich durch die Ableitungen ergibt, wurde schon durch Division entfernt.

Durch weiteres Umformen erhält man die Form eines linearen homogenen Gleichungssystems (2 Gleichungen mit 3 Unbekannten.ca , cb und E):

Eine Lösung wäre die triviale Lösung: ca = cb = 0. Wenn beide Koeffizienten gleich Null wären, dann wäre auch die Wellenfunktion gleich Null und hätte keinerlei Aussage.

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