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Quantenchemie - Das Wasserstoffmolekül

Quantenchemie: Aufstellen der Energiefunktion

Ψ sei eine Eigenfunktion, die die Schrödinger-Gleichung erfüllt.

Ψ* (die konjugiert komplexe Wellenfunktion von Ψ) wird von links an die Gleichung heranmultipliziert. Dabei ist zu beachten, dass auf der linken Seite der Gleichung H und Ψ* nicht vertauscht werden dürfen, da Operatoren nur auf die Funktionen wirken, die rechts von ihnen stehen. Auf der rechten Seite kann man E und Ψ* vertauschen. Durch Integration über alle Koordinaten erhält man:

Die Energie ist eine Konstante und kann vor das Integral gezogen werden. Durch Umformen nach E ergibt sich:

Durch Einsetzen des LCAO-Ansatzes erhält man einen Ausdruck für die Energie, der von den Atomorbitalen Φi und den dazugehörigen Koeffizienten ci abhängt.

Nach dem Ausmultiplizieren lässt sich das Integral in die einzelnen Summanden aufspalten. Anschließend kann man die Koeffizienten vor das Integral ziehen.

Um die Energieberechnung übersichtlicher zu gestalten, führt man einige vereinfachende Schreibweisen ein und nutzt aus, dass die Wellenfunktionen der Atomorbitale normiert sein müssen.

Dadurch vereinfacht sich der Ausdruck für die Energie.

In den weiteren Berechnungen bezeichnen wir den Zähler mit Z und den Nenner mit N.

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