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Hückel-Theorie - Einführung und Energieberechnung

Hückel-Theorie: Säkulardeterminante

Mit den Hückel-Näherungen erhält man die Säkulardeterminante für Butadien (Gleichung 11). Teilt man jede Zeile der Determinante durch β und ersetzt den Ausdruck auf der Hauptdiagonalen durch -x, so erhält man eine vereinfachte Säkulardeterminante (Gleichung 12).

Gleichung (11)
Gleichung (12)

Man kann die Säkulardeterminante für ein ebenes konjugiertes π-System aufstellen, ohne die komplette vorherige Herleitung durchzuführen.

Auf der Hauptdiagonalen muss immer -x stehen. Die 1 und die 0 geben die Struktur der Verbindung wieder. Nummeriert man die Kohlenstoffe und die Zeilen und Spalten der Säkulardeterminante durch, so sind die Atome, die zu den 1-Elementen der Determinante gehören, durch eine Bindung verknüpft. Am Beispiel des Triafulvens (3-Methylen-Cyclopropen) soll das veranschaulicht werden. Zu diesem Molekül gehört die folgende Säkulardeterminante (Gleichung 13).

Triafulven
Gleichung (13)

Das Kohlenstoff-Atom 3 ist an alle anderen Kohlenstoff-Atome gebunden, deshalb stehen in der dritten Zeile bzw. Spalte der Determinante außer auf der Hauptdiagonalen ausschließlich Einsen.

Die Säkulardeterminante steht für einen bestimmten Ausdruck, den man z.B. mit der Regel von Sarrus berechnen kann. Im Falle von Butadien (Gleichung 12) ergibt sich ein Polynom vierten Grades, die so genannte Säkulargleichung:

Abb.
Gleichung (14)

Löst man dieses Polynom mit Hilfe eines Matheprogramms (Mathematica, Mathcad), so erhält man vier Lösungen.

Abb.
Gleichung (15)
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