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Berechnungen zur Qualitätssicherung (Statistik)

Verteilungen

Verteilungen im Sinne der Statistik sind Verteilungsfunktionen über Vorkommen und Wahrscheinlichkeiten der Werte von Zufallsgrößen. Bei diskreten Zufallsgrößen wird zwischen Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion, bei kontinuierlichen Zufallsgrößen zwischen Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion unterschieden (siehe Kontinuierliche Zufallsgrößen).

Gauss'sche Normalverteilung

Die Verteilung der Messwerte einer Zufallsgröße kann oft durch die Gauss'sche Normalverteilung beschrieben werden. Erwartungswert und Wurzel aus der Dispersion der Gauss'schen Normalverteilung entsprechen dann dem Mittelwert und der Standardabweichung der Grundgesamtheit (siehe Kontinuierliche Zufallsgrößen und Statistische Maßzahlen). Unter der Voraussetzung, dass die Messwerte einer Stichprobe normalverteilt sind, können Prüfgröße

k PG = x ¯ μ σ x ¯ = x ¯ μ σ n
Legende
k PG -Prüfgröße
x ¯ -Mittelwert einer Stichprobe
μ -Mittelwert der Grundgesamtheit
σ x ¯ -Standardabweichung des Mittelwerts (Stichprobenfehler)
σ -Standardabweichung der Grundgesamtheit
n -Anzahl Messwerte einer Stichprobe

und kritische Größe

α 2 = φ ( k α / 2 ) α = φ ( k α )
Legende
α -Irrtumswahrscheinlichkeit
k α -kritische Größe für einen einseitigen Test
k α / 2 -kritische Größe für einen zweiseitigen Test

bestimmt werden.

Die Gauss'sche Normalverteilung ist normiert, tabelliert und für ein- und zweiseitige Tests anwendbar.

Die Auswertung von Messwerten bei Annahme einer Gauss'schen Normalverteilung wird bei Stichproben mit großen Messwertanzahlen (mindestens 30) angewendet. Die Werte von kleinen Stichproben streuen weniger in der Nähe des Mittelwerts der Grundgesamtheit, dafür aber mehr in die entfernteren Bereiche. Bei unbekannter Standardabweichung der Grundgesamtheit muss die Streuung für die Prüfgröße durch Stichproben geschätzt werden. Die Abschätzungen sind für große Stichproben genügend genau, für mittelgroße (mehr als 10, weniger als 30) weniger genau und für kleine Stichproben (weniger als 10) nicht mehr ausreichend genau.

Im Applet in der Lerneinheit Berechnungen zur Qualitätssicherung (Applet) wird für die kleinen Stichproben daher nicht die Gauss'sche Normalverteilung, sondern die sogenannte t-Verteilung angewendet.

Die Warn- und Kontrollgrenzen der meisten Regelkarten der Lerneinheit Berechnungen zur Qualitätssicherung (Regelkarten) werden mit der Gauss'schen Normalverteilung festgelegt, da die Stichproben mittelgroß sind.

t-Verteilung nach Student

Die t-Verteilung wird anstelle der Gauss'schen Normalverteilung bei kleinen bis mittelgroßen Stichproben angewendet. Für größere Stichproben nähert sich die t-Verteilung immer mehr der Gauss'schen Normalverteilung.

Der t-Verteilung liegt nicht der Stichprobenumfang oder die Anzahl der Messwerte der Stichprobe zu Grunde, sondern die Anzahl der Freiheitsgrade (Abb. 1) .

Abb.1
Wahrscheinlichkeitsdichten

Wie die Gauss'sche Normalverteilung ist die t-Verteilung normiert, tabelliert und für ein- und zweiseitige Tests anwendbar. Die Prüfgröße errechnet man gemäß

t PG = x ¯ μ σ x ¯ = x ¯ μ σ n
Legende
t PG -Prüfgröße

und die kritische Größe gemäß

α = ϕ ( t α ; f ) α 2 = ϕ ( t α / 2 ; f )
Legende
t α ; f -kritische Größe für einen einseitigen Test
t α / 2 ; f -kritische Größe für einen zweiseitigen Test
α -Irrtumswahrscheinlichkeit
f -Freiheitsgrad

In der Lerneinheit Berechnungen zur Qualitätssicherung (Kalibrierung) werden Vertrauensbereiche mithilfe der t-Verteilung berechnet 1,, und es wird geprüft, ob bestimmte Konstantenwerte innerhalb eines Vertrauensbereichs zu finden sind oder nicht, d.h. der entsprechenden Grundgesamtheit angehören oder nicht.2)

F-Verteilung nach Fisher

Die F-Verteilung beschreibt die Verteilung eines Quotienten aus zwei Varianzen. Die Varianzen sind die Quadrate der Standardabweichungen von zwei Stichproben, die der gleichen Grundgesamtheit entnommem wurden. Die Prüfgröße oder der Prüfwert ist so zu bilden, dass die größere Varianz im Zähler und die kleinere Varianz im Nenner steht:

P W = s 1 2 s 2 2 > 1
Legende
PW -Prüfwert, Prüfgröße
s 1 2 , s 2 2 -Varianzen von Stichproben

Die kritische Größe ergibt sich nach:

α = ϕ ( F α ; f 1 ; f 2 ; ) α 2 = ϕ ( F α / 2 ; f 1 ; f 2 )
Legende
F α ; f 1 ; f 2 -kritische Größe für einen einseitigen Test
F α / 2 ; f 1 ; f 2 -kritische Größe für einen zweiseitigen Test
f 1 , f 2 -Freiheitsgrade

Die F-Verteilung ist abhängig von den Freiheitsgraden der Varianzen und im Gegensatz zur Gauss'schen Normalverteilung und t-Verteilung nicht symmetrisch (Abb. 2) .

Abb.2
Wahrscheinlichkeitsdichten der F-Verteilung

Der F-Test kann für ein- und zweiseitige Fragestellungen formuliert werden.

Beispiele für den F-Test sind in der Lerneinheit Berechnungen zur Qualitätssicherung (Kalibrierung) zu finden.3, Dort wird auch gezeigt, wie Differenzen von Varianzen mit dem F-Test geprüft werden können.4)

Beim Trendtest nach Neumann ist die Prüfgröße ein Quotient aus Differenzenquadrat und Varianz:

P W = Δ 2 s 2
Legende
PW -Prüfwert, Prüfgröße
Δ 2 -Streuungsquadrat der Differenzen (Differenzenstreuungsquadrat)
s 2 -quadratische Standardabweichung, Varianz

Die kritische Größe errechnet man für den Trendtest nach Neumann gemäß:

α = W ( W α ; n )
Legende
W α ; n -kritische Größe für einen einseitigen Test
α -Irrtumswahrscheinlichkeit
n -Anzahl Messwerte

Diese Verteilung ist abhängig vom Stichprobenumfang.

χ 2 -Verteilung

Die χ 2 -Verteilung beschreibt wie die F-Verteilung die Verteilung eines Quotienten aus zwei Varianzen. Der Zähler wird durch die quadratische Abweichung einer Stichprobe und der Nenner durch die Varianz der Grundgesamtheit gebildet. Die Prüfgröße ist:

χ 2 = i = 1 n ( x i x ¯ σ ) 2 = 1 σ 2 n 1 n 1 i = 1 n ( x i x ¯ ) 2 = ( n 1 ) s 2 σ 2
Legende
χ 2 -Prüfgröße
x ¯ -Mittelwert einer Stichprobe
σ -Standardabweichung der Grundgesamtheit
s -Standardabweichung einer Stichprobe
x i -Messwert einer Stichprobe
n -Anzahl Messwerte einer Stichprobe

Während die F-Verteilung die Varianzen von zwei Stichproben der gleichen Grundgesamtheit angibt, beschreibt die χ 2 -Verteilung die Varianzen einer Stichprobe und ihrer Grundgesamtheit. Sind die Parameter der Grundgesamtheit unbekannt, wird für die Varianz der Grundgesamtheit ein Schätzwert eingesetzt.

Die χ 2 -Verteilung eignet sich daher zum Abgleich der Varianzen von Stichprobe und Grundgesamtheit. Bei gegebener Irrtumswahrscheinlichkeit kann die kritische Größe entsprechenden Tabellen entnommen und mit dem Prüfwert verglichen werden:

Abb.3
Kritische Größe
α 2 = α T a b = χ 2 ( K α / 2 ; f ) 1 α 2 = P T a b = χ 2 ( K 1 α / 2 ; f )
Legende
K α / 2 ; f -kritische Größe für einen zweiseitigen Test ("untere Grenze")
K 1 α / 2 ; f -;kritische Größe für einen zweiseitigen Test ("obere Grenze")

Der χ 2 -Test kann für ein- und zweiseitige Prüfungen angewendet werden.

Die χ 2 -Verteilung ist abhängig vom Freiheitsgrad der Stichprobenvarianz und wie die F-Verteilung keine symmetrische Funktion (Abb. 4) .

Abb.4
χ 2 -Verteilung

Zwischen den Prüfgrößen der F-Verteilung und der χ 2 -Verteilung besteht folgender Zusammenhang:

F = s 1 2 s 2 2 χ 2 = ( n 1 ) s 2 σ 2 F = χ 1 2 σ 2 n 1 1 χ 2 2 σ 2 n 2 1 = ( n 2 1 ) χ 1 2 ( n 1 1 ) χ 2 2
Legende
s 1 2 , s 2 2 -Varianzen von Stichproben der gleichen Grundgesamtheit
σ 2 -Varianz einer Grundgesamtheit
n 1 , n 2 -Anzahlen Messwerte von Stichproben

Die χ 2 -Verteilung wird für die Standardabweichungsregelkarte benötigt.

1)siehe Präzisionsberechnung und Nachweisgrenze
2)siehe Wiederfindungsfunktion und Matrixeinfluss
3)siehe Varianzenhomogenität, Wiederfindungsfunktion und Zeitstabilität
4)siehe Kalibrierung 2. Ordnung und Ausreißer
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