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Berechnungen zur Qualitätssicherung (Statistik)

Statistische Maßzahlen

Die genauen Verteilungen der Werte von Zufallsgrößen sind oft unbekannt. Man versucht dann, durch statistische Maßzahlen Zufallsgrößen zu kennzeichnen. Die Maßzahlen werden durch Auswerten von Messwertreihen erhalten.

Mittelwertmaße

Mittelwerte von Messwertreihen liegen zwischen den größten und kleinsten Messwerten: "in der Mitte der Werte". Es gibt verschiedene Mittelwerte, die nach unterschiedlichen mathematischen Vorschriften gebildet werden. Am gebräuchlichsten ist der "arithmetische Mittelwert".

Der arithmetische Mittelwert einer Grundgesamtheit wird aus allen Werten einer Zufallsgröße berechnet:

x ¯ = 1 m i = 1 m x i
Legende
x ¯ -Mittelwert (Stichprobe)
x i -Messwerte
m -Anzahl Messwerte (Stichprobe)

Der Mittelwert einer Stichprobe wird nur von einem Teil dieser Werte gebildet wird.

μ = 1 n i = 1 n x i
Legende
μ -Mittelwert (Grundgesamtheit)
x i -Messwerte
n -Anzahl Messwerte (Grundgesamtheit)

Die oben angegebene Berechnung des Mittelwerts einer Grundgesamtheit ist so nur mit abzählbaren, endlich großen Grundgesamtheiten wie beim Würfel möglich.

Beispiel

Der Mittelwert beim Würfeln ergibt sich zu:

μ = 1 n i = 1 n x i = 1 6 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) = 3 , 5

Mittelwerte von nicht abzählbaren, unendlich großen Grundgesamtheiten werden wie der Erwartungswert über ein Integral berechnet.

Das Arithmetische Mittel, der "Mittelwert", ist ein Durchschnittswert der Gesamtsumme der Messwerte. Mittelwerte von Stichproben oder Grundgesamtheiten werden mit unterschiedlichen Symbolen gekennzeichnet.

Mittelwerte haben bestimmte Eigenschaften. So verschwindet z.B. die Gesamtsumme der linearen Differenzen ("Schwerpunksatz"):

i = 1 n ( x i x ¯ ) = i = 1 n x i n x ¯ = i = 1 n x i n 1 n i = 1 n x i = 0

Die "Quadratische Minimum-Eigenschaft" drückt hingegen aus, dass die Summe der quadratischen Differenzen mit dem Mittelwert ein Minimum bildet:

Abb.1
"Quadratische Minimum-Eigenschaft"
S ( k ) = i = 1 n ( x i k ) 2 = Minimum

Dabei lautet die Bestimmungsgleichung für k (Extremwert)

d S ( k ) d k = 0

und die Minimum-Bedingung

d 2 S ( k ) d k 2 > 0

Minimum-Eigenschaften von quadratischen Summen werden z.B. zur Berechnung der linearen und quadratischen Regressionsfunktionen genutzt.1)

Streumaße

Streumaße von Messwertreihen kennzeichnen die Ausbreitung der Werte um einen Bezugswert, meist Mittelwert.

Das wichtigste Streumaß ist die sogenannte Standardabweichung, die als Wurzel aus der mittleren quadratischen Abweichung, mittleren quadratischen Streuung oder Varianz erhalten wird. Abhängig vom Bezugswert wird die Standardabweichung nach unterschiedlichen Formeln berechnet:

σ = 1 n i = 1 n ( x i μ ) 2 var ( σ ) = σ 2
Legende
σ -Standardabweichung bezogen auf Mittelwert μ
n 0 n 1 -Freiheitsgrade ( n = Anzahl Messwerte)
var ( σ ) -Varianz
s = 1 n 1 i = 1 n ( x i x ¯ ) 2 var ( s ) = s 2
Legende
s -Standardabweichung bezogen auf Mittelwert x ¯
n 0 n 1 -Freiheitsgrade ( n = Anzahl Messwerte)
var ( s ) -Varianz

Die Gesamtsumme der quadratischen Abweichungen wird durch den sogenannten Freiheitsgrad geteilt, der im Folgenden erklärt wird.

Ein weiteres Streumaß verwendet Differenzenquadrate von aufeinanderfolgenden Messwerten:

Δ = 1 n 1 i = 1 n 1 ( x i x i + 1 ) 2
Legende
Δ 2 -Streuungsquadrat von Differenzen (Differenzenstreuungsquadrat)
n 1 -Anzahl Differenzen bei n Messwerten

Dieses Streumaß beschreibt mittlere quadratische Abweichungen einer Messwertreihe und wird z.B. beim "Trendtest" verwendet.2)

Ein relatives Streumaß ist der sogenannte Variations- oder Variabilitätskoeffizient, der es gestattet, die Streuung von Messwertreihen mit unterschiedlichen Mittelwerten zu vergleichen:

ν = s x ¯ ν ( % ) = s x ¯ 100 %
Legende
ν -Variationskoeffizient
s -Standardabweichung
x ¯ -Mittelwert

Der Variationskoeffizient kann als Verhältniszahl oder in Prozent angegeben werden.

Freiheitsgrad

Der statistische Freiheitsgrad ist gleich der Differenz aus den Anzahlen unabhängiger Variablen minus der Parameter, die aus den unabhängigen Variablen berechnet werden:

f = n m
Legende
f -Anzahl Freiheitsgrade
n -Anzahl Variablen (Messwerte)
m -Anzahl Parameter

Im Zusammenhang mit Freiheitsgraden werden Messwerte als unabhängige Variablen angesehen, weil sie formal jeden Wert annehmen können. Mittelwerte sind abhängige Variablen, da sie aus Messwerten gebildet werden.

Durch Einführung von Freiheitsgraden in statistischen Berechnungen werden unabhängige Variablen und von diesen Variablen abhängige Parameter berücksichtigt.

Grundgesamtheit und Stichprobe

Eine Grundgesamtheit ist eine Menge von gleichen Objekten, deren Teilmengen Stichproben genannt werden. Die Objekte können durch Zufallsgrößen charakterisiert werden. Beispiele für Grundgesamtheiten sind die endliche Menge der möglichen Würfelergebnisse, also 1, 2, 3, 4, 5, 6 oder die unendlich große Menge aller möglichen Messwerte eines Messverfahrens. Die Messwertreihe einer Auswahl von Messwerten einer entsprechenden Grundgesamtheit wird Stichprobe genannt:

Abb.2
Grundgesamtheit und Stichprobe

Die Werte einer Grundgesamtheit streuen um den wahren Wert ("perfekte Messung"). Die genaue Lage des wahren Werts ist unbekannt, aber "in der Nähe" des Mittelwerts der Grundgesamtheit zu finden. In (Abb. 2) ist der wahre Wert durch den inneren Kreis gekennzeichnet. Mittelwert μ   und Standardabweichung σ   werden Parameter der Grundgesamtheit genannt und mit griechischen Buchstaben bezeichnet.

Die Werte von Stichproben streuen um ihren Stichprobenmittelwert. Mittelwert x ¯   und Standardabweichung s   einer Stichprobe sind die statistischen Maßzahlen oder Kennzahlen der Stichprobe, bezeichnet mit lateinischen Buchstaben.

Die Parameter Erwartungswert E   und Dispersion D   einer Verteilung von diskreten oder kontinuierlichen Zufallsgrößen werden durch allgemeine Rechenvorschriften bestimmt. Diese Parameter entsprechen den Parametern Mittelwert μ   und quadratische Standardabweichung (Varianz) σ 2 von Grundgesamtheiten und werden oft mit gleichen Symbolen gekennzeichnet.

Die Kennzahlen Mittelwert x ¯   und quadratische Standardabweichung (Varianz) s 2 von Stichproben sollten idealerweise den Parametern der entsprechenden Grundgesamtheiten gleich oder annähernd gleich sein.

Stichprobenfehler

Von einer Anzahl gleich großer Stichproben der gleichen Grundgesamtheit werden die Mittelwerte bestimmt. Wenn von diesen Mittelwerten ein mittlerer Mittelwert berechnet wird, kommt dieser Wert dem Mittelwert der Grundgesamtheit recht nahe:

x ¯ ¯ = j = 1 k x ¯ j x ¯ j = i = 1 n x j i
Legende
x ¯ ¯ -mittlerer Mittelwert von k Stichproben
x ¯ j -Mittelwert einer Stichprobe j
x j i -Messwert i von Stichprobe j
n -Anzahl Messwerte der Stichproben j = 1, 2, ...,  k

Die Mittelwerte der Stichproben sind normalverteilt, wenn die Anzahl der Stichproben unendlich groß wird und die gleichgroßen Stichproben aus mindestens 30 Messwerten bestehen. Der mittlere Mittelwert x ¯ ¯ ist dann gleich dem Mittelwert der Grundgesamtheit μ , die aus den Mittelwerten x ¯ j besteht.

Die Mittelwerte streuen um den mittleren Mittelwert. Die Abweichungen der Mittelwerte vom mittleren Mittelwert sind die einzelnen Stichprobenfehler:

e j = x ¯ j - x ¯ ¯
Legende
e j -Stichprobenfehler des Mittelwerts j

Der Stichprobenfehler des mittleren Mittelwerts oder der mittlere Fehler der Stichproben-Mittelwerte kann theoretisch berechnet werden, wenn die Mittelwerte normalverteilt sind:

σ x ¯ = σ n
Legende
σ x ¯ -Standardabweichung des Mittelwerts (Stichprobenfehler)
σ -Standardabweichung der Grundgesamtheit
n -Anzahl Messwerte einer Stichprobe

Die Mittelwert-Abweichung ist von der Anzahl der Messwerte abhängig: Je größer die Anzahl der Messwerte, umso kleiner ist die Abweichung, die verschwindet, wenn die Anzahl der Messwerte unendlich wird.

Da Parameter der Grundgesamtheit im Allgemeinen unbekannt sind, wird der Stichprobenfehler näherungsweise aus der Standardabweichung einer Stichprobe berechnet:

s x ¯ = s n
Legende
s x ¯ -Standardabweichung des Mittelwerts (Stichprobenfehler)
s -Standardabweichung einer Stichprobe
n -Anzahl Messwerte einer Stichprobe

Parameter von Grundgesamtheiten, die über Stichproben bestimmt werden, nennt man Schätzungen. Z.B. ist der mittlere Mittelwert der beste Schätzwert für den Mittelwert der Grundgesamtheit und der Mittelwert einer Stichprobe ist eine mehr oder weniger gute Näherung für den Mittelwert der Grundgesamtheit.

Genauigkeit, Präzision, Richtigkeit

In (Abb. 3) und (Abb. 4) ist die Stichprobe durch einen großen Kreis gekennzeichnet. Die Mittelwerte von Grundgesamtheit und Stichprobe sind durch kleine Kreise dargestellt.

Die Präzision ist ein Maß für die Streuung der Messwerte einer Stichprobe um den Mittelwert der Stichprobe:

Abb.3
Präzision
Präzision = s = 1 n 1 i = 1 n ( x i x ¯ ) 2
Legende
s -Standardabweichung

Diese Art von Abweichungen wird durch zufällige Fehler verursacht. Die Präzision kann auch durch den Variationskoeffizienten ausgedrückt werden (siehe Gleichung ).

Die Richtigkeit ist ein Maß für die Abweichungen der Messwerte einer Stichprobe vom Mittelwert der Grundgesamtheit:

Abb.4
Richtigkeit
Richtigkeit = | x ¯ μ |
Legende
μ -Mittelwert der Grundgesamtheit
x ¯ -Mittelwert einer Stichprobe

(Abb. 4) zeigt Abweichungen aller Messwerte, die durch einen systematischen Fehler verursacht werden. Die Messwerte streuen nicht mehr annähernd um den Mittelwert der Grundgesamtheit, sondern um den Mittelwert der Stichprobe. Der systematische Fehler verursacht eine gleichmäßige Verschiebung aller Messwerte.

Die Genauigkeit ist ein relatives Maß für die Abweichungen der Messwerte einer Stichprobe vom Mittelwert der Grundgesamtheit:

Genauigkeit = Δ x i x i = | x i μ | x i Genauigkeit ( % ) = Δ x i x i 100 %
Legende
x i -Messwert einer Stichprobe

Durch die Differenzbildung von Einzelwert der Stichprobe und Mittelwert der Grundgesamtheit werden Anteile der Abweichungen, verursacht durch zufällige und systematische Fehler, eingeschlossen.

1)siehe Seiten "Kalibrierung 1. Ordnung" und "Kalibrierung 2. Ordnung" der Lerneinheit Berechnungen zur Qualitätssicherung (Kalibrierung)
2)vgl. Lerneinheit Berechnungen zur Qualitätssicherung (Kalibrierung)
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