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Berechnungen zur Qualitätssicherung (Statistik)

Prüfstatistik

Die Prüfstatistik beschäftigt sich mit der Parameterschätzung von Grundgesamtheiten und mit dem Vergleich von statistischen Kennzahlen oder Maßzahlen der beschreibenden Statistik sowie mit der Frage, ob sie sich zufällig oder nicht zufällig unterscheiden (Hypothesenprüfung). Statistische Prüfverfahren werden bei der Bewertung von Produkten, Verfahren und Dienstleistungen angewendet und sind damit ein wesentliches Element des Qualitätswesens (Qualitätsstatistik).

Statistische Sicherheit, Irrtumswahrscheinlichkeit und Vertrauensbereich

Wiederholte Messungen einer Probe gleichen Gehalts unter gleichen Messbedingungen werden in der Prüfstatistik als Stichprobenentnahme aus einer Grundgesamtheit aller unter diesen Messbedingungen möglichen Messwerte gedeutet. Die Messwertverteilung der Grundgesamtheit entspricht meistens einer Gauss'schen Normalverteilung. Im Allgemeinen sind die Parameter dieser Grundgesamtheit oder Normalverteilung unbekannt. Man kann aber einen Bereich angeben, in dem der Mittelwert der Grundgesamtheit mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit vorkommt. Dieser Bereich entspricht einem Vielfachen der Standardabweichung des Mittelwerts einer Stichprobe:

x ¯ ± Δ x ¯ = x ¯ ± k s x ¯ = x ¯ ± k s n
Legende
x ¯ -Mittelwert einer Stichprobe
Δ x ¯ -Abweichung vom Mittelwert
s x ¯ -Standardabweichung des Mittelwerts (Näherung Stichprobenfehler)
s -Standardabweichung einer Stichprobe
n -Anzahl Messwerte einer Stichprobe
k -Faktor (Vielfaches der Standardabweichung)

Die Abweichung des Mittelwerts einer Stichprobe vom Mittelwert der Grundgesamtheit ist durch den Stichprobenfehler gegeben (siehe Statistische Maßzahlen).

Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Mittelwert der Grundgesamtheit im Bereich [ x ¯ k s x ¯ μ x ¯ + k s x ¯ ] vorkommt, ist:

P = P ( x ¯ k s x ¯ μ x ¯ + k s x ¯ )
Legende
P -statistische Sicherheit
μ -Parameter der Gauss'schen Normalverteilung

Diese Wahrscheinlichkeit wird statistische Sicherheit und der Bereich wird Vertrauensbereich genannt.

Definition
Der Vertrauensbereich ist der Bereich, der einen Wert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, der statistischen Sicherheit, enthalten kann.

Wählt man einen großen Vertrauensbereich, ist die statistische Sicherheit hoch, dass ein betrachteter Wert hier anzutreffen ist. Die Unsicherheit, wo dieser Wert innerhalb des Vertrauensbereichs genau zu finden ist, wird aber ebenfalls groß. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert auch außerhalb des Vertrauensbereichs liegen kann, ist nun gering.

Definition
Die Irrtumswahrscheinlichkeit α ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert auch außerhalb des Vertrauensbereichs zufällig vorkommen kann.

Wegen der geringeren Wahrscheinlichkeit wird ein Wert außerhalb des Vertrauensbereichs als fehlerhaft angesehen, d.h. der Wert gehört der betrachteten Grundgesamtheit nicht an. Da dieser Wert aber auch zufällig außerhalb des Vertrauensbereichs streuen kann, begeht man einen Irrtum oder fällt eine Fehlentscheidung: Die Wahrscheinlichkeit dafür ist die Irrtumswahrscheinlichkeit.

Andererseits wird bei Wahl einer kleinen statistischen Sicherheit auch der Vertrauensbereich klein. Die Unsicherheit, wo der Wert im Vertrauensbereich genau zu finden ist, wird ebenfalls kleiner. Die Irrtumswahrscheinlichkeit den Wert außerhalb des Vertrauensbereichs zufällig anzutreffen, wird aber größer.

Tab.1
Vertrauensbereich
VertrauensbereichUnsicherheitstatistische SicherheitIrrtumswahrscheinlichkeit
großgroßgroßklein
kleinkleinkleingroß

Durch Wahl der Bedingungen hat man es in der Hand, den Messwertbereich klein oder groß zu wählen. Die Angabe der Wahrscheinlichkeit, den Messwert genau an einer Stelle zu erhalten, ist aber null (unmögliches Ereignis).

Die Summe aus statistischer Sicherheit und Irrtumswahrscheinlichkeit ist eins, da die Zufallsgröße "Messwert" entweder innerhalb oder außerhalb des Bereichs vorkommen muss (sicheres Ereignis):

1 = P + α
Legende
α -Irrtumswahrscheinlichkeit

In sind einige ausgewählte Werte des Vertrauensbereichs mit dazugehörender statistischer Sicherheit und Irrtumswahrscheinlichkeit angegeben.

Tab.2
Statistische Sicherheit und Vertrauensbereich (Standardnormalverteilung Gauss)
Faktor k definiert Bereich [-k; +k] 1,00 1,96 2,58 3,30
statistische Sicherheit P in % 68,3 95,0 99,0 99,9
Irrtumswahrscheinlichkeit α   in % 31,7 5,0 1,0 0,1

Der Vertrauensbereich ist die Antwort auf die Frage "Wo ist der Messwert zu finden?". Die Antwort auf die Frage "Wo kann der Messwert erwartet werden?" ist der Vorhersagebereich.

Definition
Der Vorhersage- oder Prognosebereich ist der Bereich, in dem ein Wert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, der statistischen Sicherheit, erwartet werden kann.

Abhängig von der Fragestellung wird der Bereich Vorhersage- oder Vertrauensbereich genannt.

Vorhersagebereich
P = P ( μ k σ x ¯ x ¯ μ + k σ x ¯ )
Legende
P -statistische Sicherheit
μ -Parameter der Gauss'schen Normalverteilung
k -Faktor (Vielfaches der Standardabweichung)
σ x ¯ -Stichprobenfehler
x ¯ -Mittelwert einer Stichprobe

Sind die Parameter der Gauss'schen Normalverteilung oder der Grundgesamtheit bekannt, kann der Bereich benannt werden, in dem der Mittelwert einer Stichprobe erwartet werden kann.

Beispiel zum Vertrauensbereich

Hypothese, Nullhypothese, Alternativhypothese

Im Rahmen der Prüfstatistik wird z.B. versucht, die Frage zu beantworten, ob bei einer gegebenen Messwertreihe die Abweichungen der Messwerte von einem Bezugswert zufällig oder durch systematische Fehler verursacht werden. Diese und ähnliche Fragen werden oft als Hypothesen ausgedrückt.

Definition
Die Hypothese ist eine Behauptung, die noch bewiesen werden muss. Der Nachweis führt zu zwei Ergebnissen: Entweder ist die Hypothese richtig oder die Hypothese ist falsch.

Z.B. kann die Hypothese aufgestellt werden, dass eine Stichprobe mit den statistischen Kennzahlen Mittelwert und Streuung einer Grundgesamtheit mit bestimmten Parametern angehört. Anders beschrieben, die Abweichungen von statistischen Kennzahlen und Parametern sind zufällig.

Definition
Eine Hypothese ist eine Nullhypothese, wenn auch eine Gegenhypothese formuliert wird. Die Gegenhypothese wird Alternativhypothese genannt. Der Nachweis führt entweder zur Annahme oder zur Ablehnung der Nullhypothese, d.h. Annahme der Alternativhypothese.

Die Nullhypothese kann z.B. lauten, dass eine Stichprobe mit ihren statistischen Kennzahlen einer Grundgesamtheit "Null" angehört: Die Abweichungen von Kennzahlen und Parametern sind zufällig. Die Alternativhypothese wäre, dass die Stichprobe einer anderen Grundgesamtheit "Eins" angehört: Die Abweichungen zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit "Null" sind so schwerwiegend, dass sie nicht mehr durch Zufälligkeiten erklärt werden können.

Anzumerken ist, dass die Entscheidung für die Behauptung oder Gegenbehauptung nie "absolut richtig oder falsch", sondern immer zu einem gewissen Grad eine Fehlentscheidung sein kann, ausgedrückt durch die Irrtumswahrscheinlichkeit.

Abhängig von der Wahl der Irrtumswahrscheinlichkeit werden drei sogenannte Signifikanzstufen unterschieden:

Tab.3
Signifikanzstufen
Irrtumswahrscheinlichkeit in % > 5 5 1 0,1
Signifikanz nicht signifikant signifikant sehr signifikant hochsignifikant

Je höher die Signifikanzstufe, umso geringer ist die Gefahr einer Fehlentscheidung und umso größer ist das "Gewicht" einer Alternativhypothese.

Beispiel zur Hypothese

Weitere Beispiele und Anwendungen zur Prüfstatistik sind in der Lerneinheit Berechnungen zur Qualitätssicherung (Kalibrierung) gegeben.

Ein-, zweiseitige Tests

Eine Hypothese oder Nullhypothese stellt beispielsweise die Behauptung auf, dass eine Stichprobe aus einer bestimmten Grundgesamtheit entnommen wurde. Die Alternativhypothese behauptet dagegen, dass die Stichprobe zu einer anderen Grundgesamtheit gehört. Von den beiden Grundgesamtheiten kann einmal nur bekannt sein, dass die Mittelwerte der Grundgesamtheiten unterschiedlich sind oder aber genauer, der eine Mittelwert ist größer oder kleiner als der andere Mittelwert. Der erste Fall führt zu einem zweiseitigen Test mit zwei Flächenanteilen der Irrtumswahrscheinlichkeit (Abb. 1) , der zweite Fall führt zu einem einseitigen Test mit einem Flächenanteil der Irrtumswahrscheinlichkeit ( (Abb. 2) und (Abb. 3) ).

Abb.1
Zeichnung zum zweiseitigen Test
Abb.2
Zeichnung zum einseitigen Test
Abb.3
Zeichnung zum einseitigen Test

Die Annahme oder Ablehnung der Nullhypothese kann durch Berechnung des Vertrauensbereichs (siehe "Beispiel zum Vertrauensbereich"), der Überschreitungswahrscheinlichkeit (siehe "Beispiel zur Hypothese") oder der sogenannten Prüfgröße k PG entschieden werden:

k PG = | x ¯ μ | s x ¯ = | x ¯ μ | s n
Legende
x ¯ -Mittelwert einer Stichprobe
μ -Mittelwert der Grundgesamtheit
s x ¯ -Standardabweichung des Mittelwerts (Stichprobenfehler)
s -Standardabweichung einer Stichprobe
n -Anzahl Messwerte einer Stichprobe

Die Formel zur Berechnung der Prüfgröße entspricht der Transformationsgleichung, die eine Gauss'sche Normalverteilung in die tabellierte Standardnormalverteilung umformt. Die Berechnung berücksichtigt den Stichprobenfehler.

Die so normierte Prüfgröße wird nun mit dem entsprechenden Tabellenwert der vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit, der kritischen Größe, verglichen:

α = α T a b = φ ( k α )   oder   α 2 = α Tab = φ ( k α / 2 )
Legende
α -Irrtumswahrscheinlichkeit für einen einseitigen Test
α / 2 -Irrtumswahrscheinlichkeit für einen zweiseitigen Test
α T a b -Tabellenwert der Irrtumswahrscheinlichkeit
φ -tabellierte Gauss'sche Standardnormalverteilung
k α , k α / 2 -kritische Größen

Ist der Betrag der Prüfgröße kleiner als der Tabellenwert der vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit, befindet sie sich im sogenannten Annahmebereich und die Hypothese oder Nullhypothese wird angenommen. Ist die Prüfgröße größer oder gleich dem Tabellenwert der vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit, befindet sie sich im sogenannten Ablehnungsbereich, die Hypothese oder Nullhypothese wird abgelehnt und stattdessen eine evtl. formulierte Alternativhypothese angenommen.

Beispiel zum einseitigen Test

Weiteres Beispiel zum einseitigen Test

Beispiel zum zweiseitigen Test

α-, β-Fehler

Beim Formulieren und Bewerten von Hypothese oder Nullhypothese und Alternativhypothese sind zwei Arten von Fehlentscheidungen möglich:

Fehler 1. Art oder α -Fehler treten auf, wenn eine richtige Hypothese, z.B. die Nullhypothese abgelehnt wird. Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist daher ein Fehler 1. Art.

Fehler 2. Art oder β-Fehler treten auf, wenn eine falsche Hypothese, z.B. die Nullhypothese angenommen wird.

α-Fehler und β-Fehler sind zu berücksichtigen, wenn Verteilungskurven von zwei Grundgesamtheiten sich überlappen:

Abb.4
α-, β-Fehler

Die kritische Größe teilt beide Grundgesamtheiten in Annahme- und Ablehnungsbereich:

Ein Prüfwert im Ablehnungsbereich der Nullhypothese führt zur Ablehnung der Nullhypothese und zur Annahme der Alternativhypothese. Dieser Entschluss kann eine Fehlentscheidung sein mit einer Wahrscheinlichkeit, die der Irrtumswahrscheinlichkeit entspricht (Fehler 1. Art).

Ein Prüfwert im Annahmebereich der Nullhypothese führt zur Annahme der Nullhypothese und Ablehnung der Alternativhypothese. Dieser Entschluss kann eine Fehlentscheidung sein mit einer Wahrscheinlichkeit, die dem β-Fehler entspricht (Fehler 2. Art).

Beispiel zum α-, β-Fehler

Ein weiteres Beispiel für α-, β-Fehler ist auf der Seite "Nachweisgrenze" der Lerneinheit "Berechnungen zur Qualitätssicherung (Kalibrierung)" zu finden.

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