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Berechnungen zur Qualitätssicherung (Statistik)

Kontinuierliche Zufallsgrößen

Verteilungen von diskreten oder kontinuierlichen Zufallsgrößen sind Funktionen, die die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Wertes der Zufallsgröße abhängig vom Wert aufzeichnet.

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Abb.1
Wahrscheinlichkeitsfunktion von diskreten Zufallsgrößen

Die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten von diskreten Zufallsgrößen, wie sie beim Würfeln auftreten, können grafisch dargestellt werden. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion entspricht den Einzelwahrscheinlichkeiten der Würfelergebnisse eines idealen Würfels:

p ( x ) = P ( X = x ) p ( x ) = P ( X = i ) = 1 6
Legende
p ( x ) -Wahrscheinlichkeitsfunktion
P ( X = x ) -Einzelwahrscheinlichkeit
X -Zufallsgröße
x -Zahlenwert
i  = 1, 2, 3, 4, 5, 6 -Zahlenwert

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt also Einzelwahrscheinlichkeiten für das Auftreten von diskreten Zufallsgrößen an.

Eine andere Art der grafischen Darstellung wird erhalten, wenn die Einzelwahrscheinlichkeiten "kumulativ" addiert werden. Beim Würfel erhält man eine Treppenkurve (Abb. 2) .

Abb.2
Verteilungsfunktion von diskreten Zufallsgrößen
F ( z ) = P ( X z ) = i : x z p ( x i ) F ( 1 ) = P ( X 1 ) = i : x 1 p ( 1 ) = 1 6 F ( 3 ) = P ( X 3 ) = i : x 3 p ( 3 ) = 3 1 6 = 1 2 F ( 6 ) = P ( X 6 ) = i : x 6 p ( 6 ) = 6 1 6 = 1
Legende
F ( z ) -Verteilungsfunktion
z -obere Schranke der Zufallsgröße X

Diese und ähnliche Kurven werden Verteilungsfunktionen genannt. Sie geben die kumulativen Summen von Einzelwahrscheinlichkeiten bis zu einer gewählten, oberen Schranke an. Den Werten der Verteilungsfunktion entsprechen Flächen der Wahrscheinlichkeitsfunktion, wie sie für einen Fall mit F (3) in (Abb. 1) eingezeichnet ist.

Die Verteilungsfunktionen diskreter Zufallsgrößen werden durch Parameter charakterisiert, die nach bestimmten mathematischen Vorschriften gebildet werden:

E = i = 1 n p ( x i ) x i D = i = 1 n p ( x i ) ( x i - E ) 2 E = 1 n i = 1 n x i = 1 6 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) = 3 , 5 D = 1 n i = 1 n ( x i - E ) 2 = 2 , 9
Legende
E -Erwartungswert
D -Dispersion
p ( x i ) -Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion
n -Anzahl Werte

Als Beispiel sind Erwartungswert und Dispersion der Wahrscheinlichkeitsfunktion eines idealen Würfels angegeben. Für die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion sind die relativen Häufigkeiten eingesetzt. Der Erwartungswert ist ein Durchschnittswert mehrerer Messungen oder Würfelergebnisse. Die Dispersion ist ein Maß für die mittlere Streuung der Werte um den Erwartungswert.

Wahrscheinlichkeitsdichte

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsgröße einen vorgegebenen Wert innerhalb eines Bereichs annimmt, ist null. Anderenfalls würde eine Summenbildung mit allen Einzelwahrscheinlichkeiten eine unendlich große Summe ergeben, da ein Zahlenintervall unendlich viele Zahlen enthält. Die Wahrscheinlichkeit wird daher nicht durch eine Summation von Einzelwahrscheinlichkeiten wie bei diskreten Zufallsgrößen berechnet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsgröße einen Wert innerhalb eines Bereichs [ x , x + Δ x ] annimmt, ist diesem Bereich proportional. Je größer der Bereich, umso größer ist auch die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Zufallsgröße in diesem Bereich vorkommt. Der Proportionalitätsfaktor ist die Wahrscheinlichkeitsdichte p ( x ) :

p ( x ) = p ( x X x + Δ x ) Δ x

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße im Intervall Δ x vorkommt, ist:

p ( x X x + Δ x ) = p ( x ) Δ x

Da die Wahrscheinlichkeitsdichte im Allgemeinen von der Zufallsgröße abhängt, also nicht konstant ist, wird die Wahrscheinlichkeit über den Grenzwert einer Summe, d.h. ein Integral erhalten. Die Wahrscheinlichkeit für ein zufälliges Ereignis ist:

P ( x X x + Δ x ) = lim x i = 1 n p ( x i ) Δ x = x x + Δ x p ( x ) d x

Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist:

P ( X = x ) = x x p ( x ) d x = 0

Und die Wahrscheinlichkeit für ein sicheres Ereignis ist durch folgendes Integral gegeben:

P ( < X < + ) = + p ( x ) d x = 1

Die Wahrscheinlichkeit, eine kontinuierliche Zufallsgröße im gesamten Bereich anzutreffen, ist ein sicheres Ereignis, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist eins (Normierung). Wird nun der Bereich immer kleiner, in dem die kontinuierliche Zufallsgröße vorkommen soll, wird auch die Wahrscheinlichkeit immer kleiner, bis der Bereich verschwindet. Die Wahrscheinlichkeit, eine kontinuierliche Zufallsgröße mit einem vorgegebenen Wert anzutreffen, ist ein unmögliches Ereignis und null.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte wird also benötigt um die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer kontinuierlichen Zufallsgröße innerhalb eines bestimmten Bereichs anzugeben. Um das Integral zu lösen, muss die sogenannte Verteilungsfunktion, die Stammfunktion der Wahrscheinlichkeitsdichte bekannt sein. Wie bei diskreten Zufallsgrößen gibt die Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsgröße höchstens einen bestimmten Wert annimmt:

F ( z ) = z p ( x ) d x = P ( < X z ) = P ( X z ) F ' ( x ) = p ( x )
Legende
F ( z ) -Verteilungsfunktion
F ' ( x ) -Stammfunktion von p ( x )

Die Gauss'sche Normalverteilung

Ein Beispiel für eine Wahrscheinlichkeitsdichte und eine Verteilungsfunktion ist die Gauss'sche Normalverteilung ("Glockenkurve" der "Normalverteilung"), die viele Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsgrößen, z.B. Messwerten, beschreibt:

Abb.3
Wahrscheinlichkeitsdichte
Abb.4
Verteilungsfunktion
Gauss'sche Normalverteilung

p ( x ) = 1 2 π σ exp ( ( x μ ) 2 2 σ 2 ) F ( z ) = 1 2 π σ z exp ( ( x μ ) 2 2 σ 2 ) d x
Legende
μ , σ -Konstanten
p ( x ) -Wahrscheinlichkeitsdichte
F ( z ) -Verteilungsfunktion

Die Konstante μ beeinflusst die Lage der Normalverteilung (Maximum) und ist gleich dem Erwartungswert:

E = + p ( x ) x d x = μ

Die Konstante σ (Wendepunkt) kennzeichnet die Breite der Kurve und ist gleich der Wurzel aus der Dispersion:

D = + p ( x ) ( x - E ) 2 d x = σ 2

Wie bei diskreten Zufallsgrößen wird die Verteilung kontinuierlicher Zufallsgrößen durch die Parameter Erwartungswert und Dispersion charakterisiert. Das Summenzeichen wird durch ein Integral ersetzt.

Der wahre Wert ist eine theoretische Größe, die durch eine "perfekte" Messung als tatsächlicher Wert erhalten werden könnte. Der wahre Wert liegt im Allgemeinen in der Nähe des Erwartungswertes.

Der richtige Wert ist der Wert, der durch Vermessen von Standardproben erhalten wird. Er ist ein Näherungswert für den wahren Wert.

Die Messwerte liegen innerhalb bestimmter Messwertbereiche, z.B. [ μ - σ , μ + σ ]. Diesen Bereichen sind durch die Gauss'sche Normalverteilung Wahrscheinlichkeiten zugeordnet, die zur Bewertung von Messergebnissen genutzt werden.

Die Werte der Gauss'schen Normalverteilung können Tabellen entnommen werden. Diese tabellierten Gauss'schen Standardnormalverteilungen werden mit einer Transformationsgleichung aus obigen Funktionsgleichungen erhalten:

Abb.5
Wahrscheinlichkeitsdichte
Abb.6
Verteilungsfunktion
Tabellierte Gauss'sche Standardnormalverteilung

u = x μ σ ϕ ( u ) = p ( u ) σ = 1 2 π exp ( 1 2 u 2 ) φ ( u ) = 1 2 π u exp ( 1 2 u 2 ) d u
Legende
u-Variable der Standardnormalverteilung
ϕ ( u )-Wahrscheinlichkeitsdichte
φ ( u )-Verteilungsfunktion

Die Wahrscheinlichkeitsdichten der Gauss'schen Normalverteilungen sind normiert, d.h. Integration über den gesamten Bereich ergibt eins (sicheres Ereignis).

Mithilfe der Tabellenwerte und der Transformationsgleichung können Normalverteilungen ineinander umgerechnet werden. Die Wahrscheinlichkeit für ein zufälliges Ereignis lautet dann:

P = μ - k σ μ + k σ p ( x ) d x = - k + k ϕ ( u ) d u

Für die Transformationsgleichung gilt:

u = x μ σ = ( μ ± k σ ) μ σ = ± k

Die Integrationsgrenzen vereinfachen sich, wenn μ   und das Vielfache k σ   eingesetzt werden.

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