zum Directory-modus

Berechnungen zur Qualitätssicherung (Statistik)

Diskrete Zufallsgrößen

Methoden der Statistik, Fehlerrechnung und Wahrscheinlichkeitsrechnung werden zur Sicherung der Qualität z.B. im chemischen Analysenlabor genutzt. Die Qualität von Produkten, Prozessen und Dienstleistungen kann dadurch nicht nur qualitativ sondern auch quantitativ bestimmt und bewertet werden.

Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeit

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein sicheres Ereignis ein Ereignis, das unter gegebenen Bedingungen mit Sicherheit eintritt, z.B. dass beim einmaligen Würfeln mit einem "normalen Würfel" (Bedingungen) eine Augenzahl 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 erhalten wird. Ein unmögliches Ereignis wäre unter den gleichen Bedingungen der Wurf einer Augenzahl 7. Die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 sind zufällige Ereignisse, die beim Würfeln auftreten können.

Ereignisse beim Würfeln

Die Wahrscheinlichkeit für ein sicheres Ereignis ist:

P ( " 1 " + " 2 " + " 3 " + " 4 " + " 5 " + " 6 " ) = 1

Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis wird so dargestellt:

P ( " 7 " ) = 0

Die Wahrscheinlichkeit für ein zufälliges Ereignis mit i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ist:

0 < P ( " i " ) < 1

Die Summe A der Ereignisse A i lautet:

A = A 1 + A 2 + A 3 +  ...  A n

Ein Ereignis, das darin besteht, dass entweder ein Ereignis 1 oder ein Ereignis 2 oder ein Ereignis 3 usw. eintritt, wird Summe dieser Ereignisse genannt.

Auch Messwerte eines bekannten Wertes können wie Würfelergebnisse als zufällige Ereignisse angesehen werden. Wie beim Würfeln werden den Ereignissen Zahlenwerte zugeordnet: Die Augenzahl 2 erhält den Zahlenwert 2 und die Messung einer Schuhgröße z.B. den Zahlenwert 45.

Zufallsgrößen, Zufallsvariable

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Augenzahl 2" beim Würfeln mit einem "normalen" Würfel schreibt man:

P ( "Augenzahl 2" ) = P ( X = 2 )
Legende
X -Zufallsvariable oder Zufallsgröße

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Schuhgröße 45" wird so dargestellt:

P ( "Schuhgröße 45" ) = P ( X =45 )

2 und 45 sind dabei die Zahlenwerte der Zufallsgröße oder Zufallsvariablen.

Die Wahrscheinlichkeit für ein sicheres Ereignis beim Würfeln ist:

P ( " 1 " + " 2 " + " 3 " + " 4 " + " 5 " + " 6 " ) = P ( X 6 ) = 1

Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis beim Würfeln ist null:

P ( " 7 " ) = P ( X = 7 ) = 0

Die Wahrscheinlichkeit für ein zufälliges Ereignis beim Würfeln ist:

0 < P ( " i " ) = P ( X = i ) < 1

Dabei ist i  = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Zufallsgrößen sind vom Zufall abhängige Ereignisse, denen Zahlenwerte zugeordnet werden und für deren Auftreten eine Wahrscheinlichkeit angegeben werden kann.

Die Zufallsgrößen beim Würfeln sind diskrete Zufallsgrößen, da im Zahlenbereich [1; 6] nur die Zahlenwerte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 auftreten. Schuhgrößen in Einheiten von cm werden im Intervall [20; 50] z.B. jeden beliebigen Wert annehmen können. Diese Zufallsgrößen werden kontinuierliche Zufallsgrößen genannt.

Häufigkeit

Von Interesse ist die Häufigkeit, mit der ein bestimmtes Ereigniss auftritt. Die Häufigkeit ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis unter bestimmten Bedingungen vorkommt: Häufig vorkommende Ereignisse sind wahrscheinlicher als weniger häufig vorkommende Ereignisse. Beim Würfeln wird mit einem gefälschten Würfel und einer besonderen Würfeltechnik z.B. öfter eine 6 erhalten, bei Schuhgrößen von Kindern werden die Werte im unteren Bereich des Intervalls [20; 50] häufiger vorkommen. Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit wird daher gleich der relativen Häufigkeit gesetzt, d.h. der Anzahl der betrachteten oder günstigen Ereignisse durch die Anzahl aller möglichen Ereignisse oder Versuche:

Definition
Die klassische Wahrscheinlichkeit einer Zufallsgröße X ist definiert als:
W ( X ) = W ( X = x i ) = n i n
Legende
X -Zufallsvariable, Zufallsgröße
x i -Zahlenwert
n i n -relative Häufigkeit
n i -Anzahl günstige Ereignisse (absolute Häufigkeit)
n -Anzahl Versuche

Wird die Anzahl der Versuche wie beim Würfeln immer höher gewählt, streut die relative Häufigkeit für das Auftreten einer bestimmten Augenzahl immer enger um einen bestimmten Wert, beim Würfeln um den Wert 1/6. Die statistische Wahrscheinlichkeit wird daher als Grenzwert definiert, die Anzahl der Versuche soll gegen unendlich streben:

Definition
Die statistische Wahrscheinlichkeit P einer Zufallsgröße X ist definiert als:
P ( X ) = P ( X = x i ) = lim n n i n

Die Wahrscheinlichkeit, beim 1. Wurf eine bestimmte Augenzahl eines idealen Würfels zu erhalten, ist bei allen Augenzahlen gleich und 1/6 (Einzelwahrscheinlichkeit). Die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Augenzahl oder eine von 6 Augenzahlen beim einmaligen Würfeln zu erhalten, ist durch die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten gegeben.

Beispiel

Die Einzelwahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine bestimmte Augenzahl zu erhalten, ist für i  = 1, 2, 3, 4, 5, 6:

P ( X = i ) = 1 6

Die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Augenzahl 1, 3 oder 5 zu erhalten, beträgt:

P ( X 2 i - 1 5 ) = i = 1 3 1 6 = 3 6 = 1 2

Die Wahrscheinlichkeit, eine Augenzahl 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zu erhalten, ist 1:

P ( X 6 ) = i = 1 6 1 6 = 6 6 = 1

Für die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten P ( X = x i ) schreibt man:

P ( X x m ) = lim n n 1  +  n 2  + ...  n m n = i = 1 m P ( X = x i )

Die Summe A der Ereignisse A i

A = A 1 + A 2 + A 3 +  ...  A m

entspricht den Zufallsgrößen X x m oder X = x i :

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, bei diskreten Zufallsgrößen entweder den einen oder anderen Wert anzunehmen, ist also durch die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten gegeben.

Elementarereignis

Beim normalen Würfel können 6 verschiedene Augenzahlen erhalten werden. Das Ereignis "Eine Augenzahl würfeln" besteht dann aus der Summe von 6 verschiedenen Ereignissen, die als Elementarereignisse angesehen werden, da sie nicht weiter in andere Ereignisse zerlegt werden können. Ereignisse wie "Würfeln" oder "schönes Wetter" werden zusammengesetzte oder komplexe Ereignisse genannt. Besteht ein Ereignis nur aus Elementarereignissen, die alle gleich wahrscheinlich und bekannt sind, können klassische Wahrscheinlichkeit und statistische Wahrscheinlichkeit gleichgesetzt werden:

P ( A ) = P ( E 1  +  E 2  + ...  E n ) = i = 1 n P( E i ) = n P( E i ) = 1 P( E i ) = 1 n
Legende
A-komplexes Ereignis
E i -Elementarereignis
P-statistische Wahrscheinlichkeit
n-Anzahl aller Elementarereignisse zu A
P ( E 1  +  E 2  + ...  E m ) = i = 1 m P( E i ) = i = 1 m 1 n = m n W ( A ) = P ( A ) = m n
Legende
W-klassische Wahrscheinlichkeit
m-Anzahl Elementarereignisse zu A, wobei n m ist
<Seite 1 von 6