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Berechnungen zur Qualitätssicherung (Regelkarten)

CUSUM-Regelkarte

Wie bei Differenzen- und Range-Regelkarten werden bei CUSUM-Regelkarten Differenzen gebildet. Die Differenzen oder Abweichungen erhält man durch Differenzbildung aus Messwert und Referenzwert. Die Abweichungen werden aber "kumulativ" addiert (kumulative Summen):

S 1 = x 1 K S 2 = S 1 + x 2 K = x 1 K + x 2 K S 3 = S 1 + S 2 + x 3 K = x 1 K + x 2 K + x 3 K .... S n = i = 1 n-1 S i + x n K = i = 1 n ( x i K )
Legende
S 1 -Abweichung 1. Messwert
S 2 S 3 S i S n -kumulative Summen
x 1 x 2 x 3 x i x n -Messwerte
K -Referenzwert
n -Anzahl Messungen

Die Abweichungen oder Summen werden in eine CUSUM-Regelkarte eingetragen (Cumulative Sum / Kumulative Summe).

Die kumulativen Summen werden normiert, indem sie durch die Standardabweichung geteilt werden (normierte kumulative Summen):

s n ' = s n s = 1 s i = 1 n s i = i = 1 n s i s = i = 1 n x i K s s = 1 n 1 i = 1 n ( x i x ¯ ) 2 x ¯ = 1 n i = 1 n x 1
Legende
s n ' -normierte kumulative Summe
s -Standardabweichung
x ¯ -Mittelwert

CUSUM-Regelkarten mit normierten kumulativen Summen können leichter untereinander verglichen werden.

Wie bei Regelkarten üblich werden die Messergebnisse der Voranalyse in eine entsprechende Regelkarte vor den eigentlichen Kontrollanalysen eingetragen.

Bezugs- und Referenzwert

Der Bezugswert einer CUSUM-Regelkarte ist null. Der Referenzwert ist gleich dem Gehalt einer zertifizierten Standardprobe (im Applet K=180mg/l ). Der Referenzwert kann aber auch dem Proben-Mittelwert der Messreihe einer Voranalyse gleichgesetzt werden. In diesem Fall muss der Mittelwert sorgfältig bestimmt werden, damit die Summen gleichmäßig um die Bezugslinie Null streuen, d.h. der aktuelle Mittelwert von allen Messwerten und der Referenzwert dürfen sich nicht allzu sehr unterscheiden:

s n = i = 1 n ( x i K ) = i = 1 n x i n K = i = 1 n x i n 1 m i = 1 m x i = n ( 1 n i = 1 n x i 1 m i = 1 m x i ) = n ( x ¯ n x ¯ m )
Legende
s n -aktuelle CUSUM-Summe
x ¯ n -aktueller Mittelwert
x ¯ m -Referenzwert (Voranalyse)

Weiterhin ist die Wahl der Skalierung der Y-Achse (CUSUM-Achse) wichtig, da bei gestauchten oder langgezogenen CUSUM-Kurven Steigungsänderungen schwieriger zu erkennen sind. Der Skalierungsfaktor der y-Achse wird in Einheiten der Standardabweichung angegeben:

W = q s 1 q 2
Legende
W -Skalierungsfaktor
s -Standardabweichung

Im Applet ist der Skalierungsfaktor q = 1 gewählt worden.

Warn-/Kontrollbereich und V-Maske

Warn- und Kontrollbereich einer CUSUM-Regelkarte sind durch die sogenannte V-Maske gegeben. Die V-Maske ist eine grafische Konstruktion, die in die CUSUM-Regelkarte eingetragen wird:

Abb.1
CUSUM-Regelkarte

Durch zwei Parameter und den letzten CUSUM-Wert wird ein gleichseitiges Dreieck definiert. Der Messprozess wird als "In-Controll-Situation" bewertet, wenn keine der beiden Schenkel des Dreiecks durch die CUSUM-Linie geschnitten wird. Eine "Außer-Kontroll-Situation" wird gesehen, wenn ein Schenkel durch die CUSUM-Linie geschnitten wird (gestrichelte Linie in (Abb. 1) ).

Die beiden Parameter werden nach folgenden Formeln berechnet:

θ = arctan ( D 2 W ) = arctan ( 3 s 2 s ) = arctan 1,5 = 37 ° d = 2 s 2 ln α D 2 = 2 s 2 ln 0,0027 ( 1,5 s ) 2 = 2 ln 0,003 1,5 2
Legende
θ , d -Parameter V-Maske
D = x max / min K = z s -kleinste Abweichung
W -Skalierungsfaktor
s -Standardabweichung
α -Irrtumswahrscheinlichkeit

Der Tangens des Winkels wird durch das Verhältnis der kleinsten mit einer gewissen Sicherheit noch nachweisbaren Abweichung zum Skalierungsfaktor bestimmt. Die kleinste Abweichung wird als Vielfaches der Standardabweichung angegeben. Im Applet wird eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,27 Prozent gewählt, was einer statistischen Sicherheit von 99,73 Prozent, und einer Kontrollgrenze von z s = 3 s entspricht.

Der zur x-Achse parallele Abstand zwischen letztem CUSUM-Wert und Dreiecksspitze ist abhängig von der Wahl einer Irrtumswahrscheinlichkeit und der kleinsten Abweichung.

Die CUSUM-Regelkarte

CUSUM-Regelkarten eignen sich besonders gut zum Erkennen von Mittelwertänderungen. Geringe Steigungsänderungen der CUSUM-Kurve sind oft ohne V-Maske visuell feststellbar. Messungen mit starker Streuung der Messwerte können durch CUSUM-Regelkarten überwacht werden (Abb. 1) .

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