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Nachweisgrenze, Erfassungsgrenze, Bestimmungsgrenze

Die bisherigen Regelungen zur Absicherung des unteren Arbeitsbereiches wurden als ungenügend angesehen, da im Bereich der Nachweisgrenze der β -Fehler mit 50% als zu hoch angesehen wurde. Der Wert x k   ist daher zur Nachweisgrenze und die "alte Nachweisgrenze" x p zur Erfassungsgrenze mit einem geringeren β -Fehler festgelegt worden (siehe Abb. in Präzisionsberechnung). Die kritische Größe y c = y p ist das Nachweiskriterium mit einem α -Fehler von 5% und einem β -Fehler von 50%. Die Bestimmungsgrenze wurde als neue Größe eingeführt.

Definition
Die Nachweisgrenze ist die kleinste Menge Gehalt einer Probe, die mit einem α -Fehler von 5% und einem β -Fehler von 50% qualitativ nachgewiesen werden kann.
Abb.1
Kalibriergerade und Vertrauensband
Abb.2
Verteilungskurven

Die Nachweisgrenze wird nach der Kalibriergeradenmethode bestimmt:

x N = y c a b y c = a + Δ a = a + s y t 1 n + 1 m + x ¯ 2 i = 1 n ( x i x ¯ ) 2 x N = s y b t 1 n + 1 m + x ¯ 2 i = 1 n ( x i x ¯ ) 2
Legende
x N -Nachweisgrenze
Δ a -Vertrauensbereich
s y -Standardabweichung der Reste
t = t ( f ; α ) -Tabellenwert der t-Verteilung
a , b -Konstanten der Kalibriergeraden
n -Anzahl Messwerte
m -Anzahl Parallelbestimmungen
x i -Messwert
x ¯ -Mittelwert
y c -kritische Größe

Die Nachweisgrenze sollte folgende Bedingung erfüllen:

x max x N 10
Legende
x max -größter Messwert einer Messwertreihe
x N -Nachweisgrenze

Die Nachweisgrenze ist eine Entscheidungsgrenze für den qualitativen Nachweis. Eine Aussage über den Gehalt einer entsprechenden Probe ist wegen der großen Unsicherheit "Leerprobe oder Probe mit Gehalt" nicht sinnvoll.

Definition
Die Erfassungsgrenze ist die kleinste Menge Gehalt einer Probe, die mit einem α -Fehler von 5% und einem β -Fehler von 5% (qualitativ) nachgewiesen werden kann.
Abb.3
Kalibriergerade und Vertrauensband
Abb.4
Verteilungskurven

Die Erfassungsgrenze errechnet sich aus dem doppelten Wert der Nachweisgrenze:

x E = 2 x N = 2 s y b t 1 n + 1 m + x ¯ 2 i = 1 n ( x i x ¯ ) 2
Legende
x E -Erfassungsgrenze

Die Erfassungsgrenze gibt den Mindestgehalt einer entsprechenden Probe an, der mit hinreichender Sicherheit nachgewiesen werden kann.

Definition
Die Bestimmungsgrenze ist die kleinste Menge Gehalt einer Probe, die bei vorgegebener statistischer Sicherheit und maximal zugelassener relativer Abweichung quantitativ bestimmbar ist.
Abb.5
Bestimmungsgrenze

Zur Berechnung der Bestimmungsgrenze muss zunächst der relative Vertrauensbereich durch Wahl des sogenannten k-Faktors festgelegt werden:

V B rel = 1 k = Δ x B x B
Legende
V B rel -relativer Vertrauensbereich
Δ x B -maximal zugelassene Abweichung (für Bestimmungsgrenze)
x B -Messwert (Bestimmungsgrenze)
k-k-Faktor

Der Kehrwert des k-Faktors ist ein Maß für die wählbare, maximal zugelassene Abweichung pro Messwert.

Die Bestimmungsgrenze kann durch Lösen der quadratischen Gleichung für x B

x B + Δ x B = x B + s y b t 1 n + 1 m + ( x B x ¯ ) 2 i = 1 n ( x i x ¯ ) 2 x B = k Δ x B = k s y b t 1 n + 1 m + ( x B x ¯ ) 2 i = 1 n ( x i x ¯ ) 2
Legende
x B -Bestimmungsgrenze

oder einfacher als Näherung berechnet werden:

x B = k s y b t 1 n + 1 m + ( k x N x ¯ ) 2 i = 1 n ( x i x ¯ ) 2
Legende
x N -Nachweisgrenze

zeigt die k-Faktoren der einzelnen Grenzen. Die k-Faktoren der Nachweis- und Erfassungsgrenze ergeben sich aus den Festlegungen für diese Grenzen. Für den k-Faktor der Bestimmungsgrenze wird meistens ein Wert von drei gewählt:

Tab.1
k-Faktoren
Δ x B x B k V B rel [%]
x N x N x N = 1 1 100
x E x N 2 x N = 1 2 2 50
x B x N 3 x N = 1 3 3 33

Die Bestimmungsgrenze sollte größer als die Erfassungsgrenze sein, da erst oberhalb der Erfassungsgrenze Angaben über Gehalte entsprechender Proben als sinnvoll bewertet werden.