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Berechnungen zur Qualitätssicherung (Kalibrierung)

Ausreißer

Definition
Ausreißer sind Messwerte, die eine auffallend starke Streuung um eine Kalibrierfunktion (hier Kalibriergerade) aufweisen und deren Residuen oder Reste vergleichsweise groß sind:
Abb.1
Kalibriergerade und Ausreißer
Abb.2
Residuen und Reste

Ausreißerverdächtige Messwerte müssen überprüft werden. Wenn Messwerte als Ausreißer erkannt sind, dürfen diese Wertepaare zur Kalibrierung nicht genutzt werden, da sie die Kalibrierfunktion verfälschen können.

Ausreißer sind im Allgemeinen nicht leicht zu erkennen: Deshalb wird systematisch in der Messwertreihe nach Ausreißern gesucht, indem jeder Wert verdächtigt wird, ein Ausreißer zu sein. Man beginnt mit dem ersten Messwert und nimmt an, dass er ein Ausreißer sein könnte. Dann wird der 2., 3., .... und schließlich der n . Messwert verdächtigt, ein Ausreißer zu sein. Man erhält so n Berechnungen und Prüfungen.

Prüfung

Zur Überprüfung werden Mittelwerte und Reststreuungen (Varianzen) einmal mit und einmal ohne den verdächtigen Messwert berechnet.

Mittelwert mit Ausreißer:

y ¯ 1 = 1 n 1 i = 1 n 1 y i   

Mittelwert ohne Ausreißer:

y ¯ 2 = 1 n 2 i = 1 n 2 y i      

Reststreuung (Varianz) mit Ausreißer:

s yA1 2 = 1 n 2 1 i = 1 n 1 ( y i y ¯ 1 ) 2

und Reststreuung (Varianz) ohne Ausreißer:

s yA2 2 = 1 n 2 1 i = 1 n 2 ( y i y ¯ 2 ) 2

Der Prüfwert P W ist ein Quotient aus der Differenz der Varianzen mit und ohne Ausreißer durch die Varianz ohne Ausreißer:

P W = ( n 1 2 ) s y A 1 2 ( n 2 2 ) s y A 2 2 s y A 2 2

Der Tabellenwert für einen F-Test mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% ist:

F = F ( f 1 ; f 2 ; α ) = F ( f 1 = 1 ; f 2 = n 2 2 = 7 ; α = 1 % ) = 12,25 Irrtumswahrscheinlichkeit  α = 100% P = 1% statistische Sicherheit  P = 99%
Legende
n 1 = 10 -Anzahl Messwerte mit Ausreißer
n 2 = 9 -Anzahl Messwerte ohne Ausreißer
f 1 , f 2 -Freiheitsgrade

Man erhält durch Abgleich des Prüfwertes mit dem entsprechenden F-Tabellenwert folgende Ergebnisse:

  1. P W < F  Der als Ausreißer verdächtigte Messwert ist kein Ausreißer.
  2. P W F  Der als Ausreißer verdächtigte Messwert ist ein Ausreißer.

Wenn Ausreißer durch den F-Test nachgewiesen werden, müssen die Ursachen gesucht und gefunden werden. Die Fehler oder Unzulänglichkeiten im Messverfahren müssen ggf. behoben werden.

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