zum Directory-modus

Symmetrie: Irreduzible Darstellungen, Mulliken-Symbolik

Notwendige Grundlagen der Gruppentheorie

Moleküle (und Kristalle) besitzen in der Regel nicht nur ein, sondern mehrere Symmetrie-Elemente. Dabei ist aber nicht jede beliebige Kombination möglich. Wenn z.B. eine Spiegelebene vorhanden ist, so kann sie nie schräg zu einer Drehachse orientiert sein (die Achse muss entweder senkrecht zur Ebene oder in ihr liegen). Dieses Beispiel macht deutlich, dass die Symmetrie-Elemente eines Moleküls meist nicht unabhängig voneinander koexistieren, sondern oft miteinander verknüpft sind. Eine Beziehung zwischen ihnen lässt sich über einen der wichtigsten Begriffe der modernen Mathematik, den Begriff der Gruppe, herstellen. Mögliche Kombinationen ohne Translationssymmetrie nennt man Punktgruppe. Die Bezeichnung bringt zum Ausdruck, dass nur einfache Kombinationen von Symmetrie-Elementen möglich sind, bei denen es einen ausgezeichneten Punkt oder eine ausgezeichnete Achse gibt, durch welche alle Symmetrie-Elemente verlaufen.

Definition: Gruppe und deren Ordnung
Die Anzahl (Menge) der Symmetrie-Elemente, die ein Molekül besitzt, bestimmt dessen Symmetrie und wird in einer Gruppe zusammengefasst. Für diese Gruppe ist eine Verknüpfungsvorschrift definiert, wobei folgende vier Bedingungen erfüllt sein müssen:
  1. Wenn A und B Elemente der derselben Gruppe sind , so ergibt deren Verknüpfung (Multiplikation genannt) A · B = C ebenfalls ein Element der Gruppe. Das Produkt A · B bedeutet hierbei, dass zuerst die Symmetrie-Operation B auf das Molekül angewendet wird und dann auf die neue Lage die Operation A. Die Wirkung ist dabei gleich der alleinigen Anwendung der Operation C auf das Molekül. Im Allgemeinen ist wegen A B B A das Kommutativgesetz nicht erfüllt. 
  2. In jeder Gruppe muss das Einheitselement E einmal vorkommen. E kommutiert mit jedem Element in der Gruppe, z.B. E · B = B · E = B. 
  3. Es gilt das assoziative Gesetz: A · B · C = (A · B) · C = A · (B · C) 
  4. Zu jedem Element (z.B. A) existiert ein inverses (oder reziprokes), welches ebenfalls in der Gruppe enthalten ist und mit A 1 bezeichnet wird. Es gilt: A A 1 = A 1 A = E .
Im Falle der Symmetrie-Operationen ist die inverse Operation A 1 jene, welche das Molekül in die ursprüngliche Lage (Ausgangsposition) zurückversetzt, aus welcher es durch die Operation A entfernt wurde.
Wenn also diese vier Bedingungen oder Gruppenaxiome erfüllt sind, d.h. die Regel der Verknüpfbarkeit (Multiplikation) gilt, das Assoziativgesetz erfüllt wird, ein Einheitselement existiert und für jedes Element ein dazu inverses Element vorhanden ist, dann stellt die Gesamtheit der Elemente eine Gruppe dar. Die Anzahl der Elemente einer Gruppe nennt man ihre Ordnung.
<Seite 1 von 5