zum Directory-modus

Quantentheorie und Spektroskopie: Rotationsspektroskopie

Starrer Rotator: Quantenmechanische Beschreibung

Beim starren Rotator ist der Abstand der beiden miteinander verbundenen rotierenden Teilchen starr. Bei den beiden Teilchen kann es sich zum Beispiel um die Atome eines zweiatomigen Moleküls handeln. Wie beim Wasserstoff-Atom wird zunächst das Zwei-Teilchen-Problem auf zwei Ein-Teilchen-Probleme zurückgeführt, nämlich die translatorische Bewegung des Gesamtsystems und die Relativbewegung der beiden Teilchen (z.B. Atome) gegeneinander. Man erhält wiederum eine Schrödinger-Gleichung für die Translation des Gesamtsystems (Schwerpunktsbewegung) und eine Schrödinger-Gleichung für die Relativbewegung, wobei hier nur Letztere interessiert. Beide Gleichungen haben die gleiche Form wie beim Wasserstoff-Atom (siehe dort), nur dass hier die potenzielle Energie verschwindet ( V ( r ) = 0 ), und dass die Energie der Relativbewegung ausschließlich Rotationsenergie ist.

Der Hamilton-Operator des starren Rotators lautet in kartesischen Koordinaten:

H = p 2 2 μ = 2 2 μ ( δ 2 δ x 2 + δ 2 δ y 2 + δ 2 δ z 2 ) = 2 2 μ Δ .

Die Rotation behandelt man besser in Kugelkoordinaten. In diesen Koordinaten lautet der Hamilton-Operator:

H = 2 2 μ ( δ 2 δ r 2 + 2 r δ δ r + 1 r 2 { 1 sin θ δ δ θ sin θ δ δ θ + 1 sin 2 θ δ 2 δ ϕ 2 } )

Einsetzen in die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung liefert:

H Ψ ( r , θ , φ ) = E Ψ ( r , θ , φ ) .

Da nach Definition r sich beim starren Rotator nicht ändert, gilt:

Ψ ( r , θ , φ ) = Ψ ( θ , φ ) , wegen r = const.

Das heißt aber, dass die Ableitung nach r verschwindet und der Hamilton-Operator in Kugelkoordinaten sich vereinfacht zu:

H Ψ ( θ , ϕ ) = 2 2 μ ( 1 r 2 { 1 sin θ δ δ θ sin θ δ δ θ + 1 sin 2 θ δ 2 δ ϕ 2 } ) H Ψ ( θ , ϕ ) = 1 2 μ r 2 L 2 Η Ψ ( θ , ϕ ) = E Ψ ( θ , ϕ ) ,

wobei hier der Operator-Ausdruck für das Quadrat des Drehimpulses L 2 verwendet wurde:

L 2 = 2 { 1 sin θ δ δ θ sin θ δ δ θ + 1 sin 2 θ δ 2 δ ϕ 2 } ( in Kugelkoordinaten ) .

Als Lösung des Eigenwertproblems erhält man

1 2 μ r 2 L 2 Η Y l , m ( θ , ϕ ) = 2 2 μ r 2 l ( l + 1 ) Y l , m ( θ , ϕ ) , l = 0 , 1 , 2 , ... ,

wobei Y l m ( θ , φ ) die Kugelfunktionen (simultane Eigenfunktionen von L 2 und L z ) sind. Wenn J = μ r 2 das Trägheitsmoment ist, dann betragen die zugehörigen Rotationseigenenergien:

E l = 2 2 J l ( l + 1 ) , l = 0 , 1 , 2 , ...
Seite 3 von 8