Schwarz'sche Ungleichung

In der elementaren Vektorrechnung sind Vektoren definiert als gerichtete Strecken (Pfeile) im Raum. Ein Vektor ist also definiert durch Angabe seiner Länge und seiner Richtung. In der folgenden Abbildung sind zwei Vektoren $a$ und $b$ im zweidimensionalen Raum ( $x$- und $y$-Koordinate) dargestellt:

Das Skalarprodukt beider Vektoren ist gegeben durch:

$$(a,b)=\left|a\right|\cdot \left|b\right|\cdot cos\varphi \le \left|a\right|\cdot \left|b\right|$$

wobei $\varphi$ der Winkel ist, der von den beiden Vektoren eingeschlossen wird. Das Skalarprodukt ist nur gleich dem Produkt der Beträge, wenn $\varphi$ gleich Null ist, sonst ist es kleiner. In Analogie findet man für Vektoren in der Quantenmechanik, die im Allgemeinen komplex sind, die Schwarz'sche Ungleichung:

$$\left|\Phi \right|\cdot \left|\Psi \right|\ge \left|\langle \Phi |\Psi \rangle \right|$$

Ein Beweis findet sich bei Cohen-Tannoudji in Kapitel 2.7.¹⁾