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Quantenmechanik: Heisenberg'sche Unschärferelation

Heisenberg'sche Unbestimmtheitsrelation, Kommutator

Heisenberg'sche Unbestimmtheitsrelation/Unschärferelation
Ein in der klassischen Physik unbekanntes Phänomen ist dieHeisenberg'sche Unbestimmtheitsrelation:
Δ x Δ p 2

Für Orts- ( x ) und Impulsmessungen ( p ) an Quantenzuständen gilt stets, dass die Streuung Δ x mit der entsprechenden Streuung Δ p durch die Unbestimmtheitsrelation verbunden ist, so genannt, weil sie für einen gegebenen Quantenzustand die durch Δ x beschriebene Unbestimmtheit in der Prognose für das Ergebnis einer einzelnen Ortsmessung mit der Unbestimmtheit Δ p in der Prognose einer Impulsmessung verknüpft. Die Bezeichnung "Unschärferelation" ist nicht angebracht, da damit der Eindruck erweckt werden kann, dass man es mit unscharfen Messungen zu tun hat. Die Relation beschreibt tatsächlich Streuungen vieler jeweils scharfer Messergebnisse. Da die Relation für jedes Paar kanonisch konjugierter Variablen besteht, so gilt sie auch für die Energie und die Zeit. Es gilt:

Δ E Δ t 2

Wenn man also die Energie eines Quantenzustandes genau kennt, so weiß man nichts über die Zeit, die das System in diesem Zustand verbringt und umgekehrt.

Kommutator
Für (in der Reihenfolge ihrer Anwendung) vertauschbare Operatoren ist der Kommutator gleich Null; die zugehörigen Observablen unterliegen nicht der Unschärfebeziehung und sind folglich gleichzeitig exakt bestimmbar.

Der Kommutator von zwei Operatoren A und B ist definiert als:

[ A , B ] = A B B A

Er erfasst den Unterschied in der Reihenfolge der Anwendung von Operatoren, denn im Allgemeinen gilt:

AB | x B A | x

Es gelten folgende Rechenregeln für Kommutatoren:

[ A 1 + A 2 , B ] = [ A 1 , B ] + [ A 2 , B ] [ A 1 A 2 , B ] = A 1 [ A 2 , B ] + [ A 1 , B ] A 2
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