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Quantenmechanik: Hermite'sche Operatoren

Beispiel für ein Matrixeigenwertproblem

Beispiel: Gesucht sind die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A = ( 0 1 1 0 ) .

Lösung:

1. Schritt: Säkulardeterminante aufstellten: ( λ 1 1 λ ) = 0 .

2. Schritt: Als Polynom n -ten Grades in λ hinschreiben: λ 2 - 1 = 0 .

3. Schritt: Bestimmung der n Nullstellen λ i (= Eigenwerte) dieses Polynoms: λ 1 = +1, λ 2 = -1 (Eigenwerte)

4. Schritt: Die Eigenwerte λ i in das Eigenwertgleichungssystem ( A - λ 1 ) | a = 0 einsetzen und die zugehörigen Koordinaten a 1 , a 2 , ... des Eigenvektors | a bestimmen.

λ 1 = + 1 : a 1 = a 2 λ 2 = - 1 : a 1 = - a 2 λ = + 1 | a λ = + 1 = a 1 ( 1 1 ) λ = 1 | a λ = - 1 = a 1 ( 1 - 1 ) 5. Schritt: Normierung (fakultativ): Die Freiheit in der Skalierung (Faktor a 1 ) wird üblicherweise zur Normierung verwendet. Bei den normierten Eigenvektoren ist a 1 = 1 2 .

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