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Quantenmechanik: Hermite'sche Operatoren

Lösung von Matrixeigenwertproblemen

Gesucht sind Vektoren | a mit der Eigenschaft

A | a = λ | a

oder

( A - λ 1 ) | a = 0

Diese Eigenwertgleichung lautet ausführlich:

( A 11 λ ) a 1 + A 12 a 2 + ... = 0 A 21 a 1 + ( A 22 λ ) a 2 + ... = 0 A 31 a 1 + A 32 a 2 + ... = 0 ...

Es liegt also ein lineares homogenes Gleichungssystem vor. (Bei einer quadratischen Matrix mit n Zeilen und n Spalten erhält man n Gleichungen mit n Unbekannten.) Die triviale Lösung lautet: | a = 0 , also a 1 = a 2 = ... = 0 (alle Komponenten des Spaltenvektors | a sind gleich Null). Für die nicht-triviale Lösung: | a 0 muss die so genannte Säkulardeterminante det (A- λ 1) verschwinden:

det ( A - λ 1 ) = 0

Die letzte Gleichung heißt Säkulargleichung. Deren Lösung liefert die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A. Die Vorgehensweise bei der Lösung wird im Folgenden anhand eines Beispiels erläutert.

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