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Quantenmechanik: Prinzipien

Zeitliche Entwicklung

Postulat: Zeitliche Entwicklung folgt aus zeitabhängiger Schrödinger-Gleichung
Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung bestimmt die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion | Ψ :
i d d t | Ψ ( t ) = H ( t ) | Ψ ( t )

Dabei ist H(t) ein zeitabhängiger Hermite'scher Operator, welcher der Observablen der Gesamtenergie des durch | Ψ beschriebenen Systems zugeordnet ist. H(t) wird Hamilton-Operator genannt.

Wenn der Hamilton-Operator H zeitunabhängig ist, dann liegt ein konservatives System vor und die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung kann durch Separation der Variablen hergeleitet werden. Wir tun dies für eine eindimensionale Wellenfunktion Ψ ( x , t ) in der Ortsdarstellung. Wir gehen mit dem Produktansatz Ψ ( x , t ) = Φ ( x ) Ω ( t ) in die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung:

i d d t Φ ( x ) Ω ( t ) = H Φ ( x ) Ω ( t ) | 1 Φ ( x ) Ω ( t ) i d d t Ω ( t ) Ω ( t ) = H Φ ( x ) Φ ( x )

Die linke Seite hängt nur von t und die rechte Seite nur von x ab. Also müssen beide Seiten gleich einer Konstanten sein. Im vorliegenden Fall ist die Konstante die Gesamtenergie des Systems E und wir erhalten:

i t Ω ( t ) = E Ω ( t ) ( ) Φ ( x ) = E Φ ( x ) ( )

Die letzte Gleichung (II) ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. Die (näherungsweise) Lösung dieser Gleichung für Moleküle ist das zentrale Problem der Quantenchemie. Die zeitliche Entwicklung eines konservativen Systems ist gegeben durch die Lösung von Gleichung (I):

Ω ( t ) = exp ( i E t )
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