Quantenmechanik: Prinzipien
Zeitliche Entwicklung
- Postulat: Zeitliche Entwicklung folgt aus zeitabhängiger Schrödinger-Gleichung
- Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung bestimmt die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion :
Dabei ist H(t) ein zeitabhängiger Hermite'scher Operator, welcher der Observablen der Gesamtenergie des durch beschriebenen Systems zugeordnet ist. H(t) wird Hamilton-Operator genannt.
Wenn der Hamilton-Operator H zeitunabhängig ist, dann liegt ein konservatives System vor und die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung kann durch Separation der Variablen hergeleitet werden. Wir tun dies für eine eindimensionale Wellenfunktion ( , ) in der Ortsdarstellung. Wir gehen mit dem Produktansatz ( , ) = ( ) ( ) in die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung:
Die linke Seite hängt nur von und die rechte Seite nur von ab. Also müssen beide Seiten gleich einer Konstanten sein. Im vorliegenden Fall ist die Konstante die Gesamtenergie des Systems und wir erhalten:
Die letzte Gleichung (II) ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. Die (näherungsweise) Lösung dieser Gleichung für Moleküle ist das zentrale Problem der Quantenchemie. Die zeitliche Entwicklung eines konservativen Systems ist gegeben durch die Lösung von Gleichung (I):