Zeitliche Entwicklung

Postulat: Zeitliche Entwicklung folgt aus zeitabhängiger Schrödinger-Gleichung

Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung bestimmt die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion $|\Psi$ $\rangle$:

$$i\hslash \frac{d}{dt}|\Psi \left(t\right)\rangle =H(t)|\Psi \left(t\right)\rangle$$

Dabei ist H(t) ein zeitabhängiger Hermite'scher Operator, welcher der Observablen der Gesamtenergie des durch $|\Psi$ $\rangle$ beschriebenen Systems zugeordnet ist. H(t) wird Hamilton-Operator genannt.

Wenn der Hamilton-Operator H zeitunabhängig ist, dann liegt ein konservatives System vor und die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung kann durch Separation der Variablen hergeleitet werden. Wir tun dies für eine eindimensionale Wellenfunktion $\Psi$( $x$, $t$) in der Ortsdarstellung. Wir gehen mit dem Produktansatz $\Psi$( $x$, $t$) = $\Phi$( $x$) $\Omega$( $t$) in die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung:

$$\begin{array}{l}i\hslash \frac{d}{dt}\Phi \left(x\right)\Omega \left(t\right)=H\Phi \left(x\right)\Omega \left(t\right)|\cdot \frac{1}{\Phi \left(x\right)\Omega \left(t\right)}\\ i\hslash \frac{\frac{d}{dt}\Omega \left(t\right)}{\Omega \left(t\right)}=\frac{H\Phi \left(x\right)}{\Phi \left(x\right)}\end{array}$$

Die linke Seite hängt nur von $t$ und die rechte Seite nur von $x$ ab. Also müssen beide Seiten gleich einer Konstanten sein. Im vorliegenden Fall ist die Konstante die Gesamtenergie des Systems $E$ und wir erhalten:

$$\begin{array}{l}i\hslash \frac{}{t}\Omega \left(t\right)=E\Omega \left(t\right)()\\ \Phi \left(x\right)=E\Phi \left(x\right)()\end{array}$$

Die letzte Gleichung (II) ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. Die (näherungsweise) Lösung dieser Gleichung für Moleküle ist das zentrale Problem der Quantenchemie. Die zeitliche Entwicklung eines konservativen Systems ist gegeben durch die Lösung von Gleichung (I):

$$\Omega \left(t\right)=exp\left(-\frac{i}{\hslash }Et\right)$$