Verallgemeinertes Skalarprodukt, Bra-Ket-Schreibweise

Eine spezielle Realisierung des Skalarproduktes kennen wir für Vektoren im dreidimensionalen Raum $\mathbf{r}$(1) und $\mathbf{r}$(2): ( $\mathbf{r}$(1), $\mathbf{r}$(2)) = $|$ $\mathbf{r}$(1) $|$ $|$ $\mathbf{r}$(2) $|$ cos $\varphi$ Das Skalarprodukt ist also gleich dem Produkt der Beträge der Vektoren mal dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels $\varphi$ . Alternativ ergibt sich das Skalarprodukt auch als Summe der Produkte der entsprechenden Komponenten: ( $\mathbf{r}$(1), $\mathbf{r}$(2)) = $x$(1) $x$(2) + $y$(1) $y$(2) + $z$(1) $z$(2) .

Bra-Ket-Schreibweise

Für zwei allgemeine Vektoren $|a\rangle \text{und}|b\rangle$ schreiben wir das verallgemeinerte Skalarprodukt in der Dirac'schen Bra-Ket-Schreibweise als $\langle$ $a$ $|$ $b$ $\rangle$ . Stellen wir uns das Skalarprodukt vor als $\langle$ $a$ $|$ $b$ $\rangle$ = $\langle$ $a$ $|$ * $|$ $b$ $\rangle$ , dann ist der linke Faktor ("Bra") ein Zeilenvektor mit konjugiert-komplexen Komponenten und der rechte Faktor ("Ket") steht für einen gewöhnlichen Spaltenvektor:

$$\langle a|b\rangle =\left(\begin{array}{ccc}{a}_1^{*}& a_2^{*}& \mathrm{...}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ \mathrm{...}\end{array}\right)$$

Definition des Skalarproduktes

Das Skalarprodukt ist gleich einer komplexen Zahl (Skalar) $\lambda$: $\langle$ $a$ $|$ $b$ $\rangle$ = $\lambda$ und es gelten folgende Rechenregeln:

Rechenregeln:

• $\langle$ $a$ $|$ $b$ $\rangle$ = $\langle$ $b$ $|$ $a$ $\rangle {}^{*}$ : Das Vertauschen der Vektoren liefert den konjugiert komplexen Skalar
• $\langle$ $a$ $|$ $a$ $\rangle$ $\ge$ 0 : Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist immer reell und positiv. Es ist gleich dem Betragsquadrat des Vektors: $|$ $a$ $|{}^2$.
• komplexe Zahl $\lambda$ : $\langle$ $a$ $|$ λ $b$ $\rangle$ = $\lambda$ $\langle$ $a$ $|$ $b$ $\rangle$ Faktor "hinten" kann herausgezogen werden
• $\langle$ $\lambda$ $a$ $|$ $b$ $\rangle$ = $\lambda$ $\langle$ $a$ $|$ $b$ $\rangle$ Faktor "vorne" kann auch herausgezogen werden, aber konjugiert komplex
• Distributivgesetz: $\langle$ $a$ $|$ $b$ + $c$ $\rangle$ = $\langle$ $a$ $|$ $b$ $\rangle$ + $\langle$ $a$ $|$ $c$ $\rangle$