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Quantenmechanik: Prinzipien

Verallgemeinertes Skalarprodukt, Bra-Ket-Schreibweise

Eine spezielle Realisierung des Skalarproduktes kennen wir für Vektoren im dreidimensionalen Raum r (1) und r (2): ( r (1), r (2)) = | r (1) | | r (1) | cos ϕ Das Skalarprodukt ist also gleich dem Produkt der Beträge der Vektoren mal dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels ϕ . Alternativ ergibt sich das Skalarprodukt auch als Summe der Produkte der entsprechenden Komponenten: ( r (1), r (2)) = x (1) x (2) + y (1) y (2) + z (1) z (2) .

Bra-Ket-Schreibweise
Für zwei allgemeine Vektoren | a   und   | b schreiben wir das verallgemeinerte Skalarprodukt in der Dirac'schen Bra-Ket-Schreibweise als a | b . Stellen wir uns das Skalarprodukt vor als a | b = a | * | b , dann ist der linke Faktor ("Bra") ein Zeilenvektor mit konjugiert-komplexen Komponenten und der rechte Faktor ("Ket") steht für einen gewöhnlichen Spaltenvektor:
a | b = ( a 1 * a 2 * ... ) ( b 1 b 2 ... )
Definition des Skalarproduktes
Das Skalarprodukt ist gleich einer komplexen Zahl (Skalar) λ : a | b = λ und es gelten folgende Rechenregeln:

Rechenregeln:

  • a | b = b | a * : Das Vertauschen der Vektoren liefert den konjugiert komplexen Skalar
  • a | a 0 : Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist immer reell und positiv. Es ist gleich dem Betragsquadrat des Vektors: | a | 2 .
  • komplexe Zahl λ : a | λ b = λ a | b Faktor "hinten" kann herausgezogen werden
  • λ a | b = λ a | b Faktor "vorne" kann auch herausgezogen werden, aber konjugiert komplex
  • Distributivgesetz: a | b + c = a | b + a | c
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