Quantenmechanik: Prinzipien
Verallgemeinertes Skalarprodukt, Bra-Ket-Schreibweise
Eine spezielle Realisierung des Skalarproduktes kennen wir für Vektoren im dreidimensionalen Raum (1) und (2): ( (1), (2)) = (1) (2) cos Das Skalarprodukt ist also gleich dem Produkt der Beträge der Vektoren mal dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels . Alternativ ergibt sich das Skalarprodukt auch als Summe der Produkte der entsprechenden Komponenten: ( (1), (2)) = (1) (2) + (1) (2) + (1) (2) .
- Bra-Ket-Schreibweise
- Für zwei allgemeine Vektoren schreiben wir das verallgemeinerte Skalarprodukt in der Dirac'schen Bra-Ket-Schreibweise als . Stellen wir uns das Skalarprodukt vor als = * , dann ist der linke Faktor ("Bra") ein Zeilenvektor mit konjugiert-komplexen Komponenten und der rechte Faktor ("Ket") steht für einen gewöhnlichen Spaltenvektor:
- Definition des Skalarproduktes
- Das Skalarprodukt ist gleich einer komplexen Zahl (Skalar) : = und es gelten folgende Rechenregeln:
Rechenregeln:
- = : Das Vertauschen der Vektoren liefert den konjugiert komplexen Skalar
- 0 : Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist immer reell und positiv. Es ist gleich dem Betragsquadrat des Vektors: .
- komplexe Zahl : λ = Faktor "hinten" kann herausgezogen werden
- = Faktor "vorne" kann auch herausgezogen werden, aber konjugiert komplex
- Distributivgesetz: + = +