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Vertiefung: Teilchen im Kasten

Längstwellige Absorption der Cyanine

Für Cyanine der allgemeinen Formel: R 2 N ¯ - ( C H = C H ) m - C H = N R 2

ist das Kastenmodell besonders gut anwendbar. Die Kette besteht aus 2m + 3 (C,N)-Atomen. Der Kasten wird nach links und rechts um ein Atom länger gewählt: Also beträgt die Länge des Kastens L = (2 m + 5) R, wobei R die mittlere Bindungslänge ist. Die Anzahl der π-Elektronen beträgt 2 m + 4. Die Energie des höchsten besetzten Orbitals (HOMO) lautet in atomaren Einheiten:

E ( HOMO ) = ( m + 2 ) 2 π 2 ( 2 ( 2 m + 5 ) 2 R 2 )

und die des niedrigsten unbesetzten Orbitals:

E ( LUMO ) = ( m + 3 ) 2 π 2 ( 2 ( 2 m + 5 ) 2 R 2 )

Die Energie der längstwelligen Absorption ergibt sich als Differenz der letzten beiden Energien:

Δ E = E ( LUMO ) E ( HOMO ) = ( π 2 4 R 2 ) ( m + 2,5 )

Für die Wellenlänge erhält man:

λ = h c Δ E = h c π 2 4 R 2 ( m + 2,5 )

In atomaren Einheiten gilt:

h = 2 π , c = 137 , R = 2,65

und man erhält für die Wellenlänge:

λ = 130 ( m + 2,5 ) nm

Experimentell findet man:

λ = 105 ( m + 2 ) nm

Das Kastenmodell liefert also: Den funktionell richtigen Zusammenhang: Wellenlänge = A + B m, größenordnungsmäßig richtige Absolutwerte und ein Verständnis der Phänomene und Zusammenhänge.

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