zum Directory-modus

Vertiefung: Teilchen im Kasten

Dreidimensionaler Kasten

Wie beim eindimensionalen Kasten ist auch beim dreidimensionalen Kasten das Potenzial im Innern gleich Null und geht gegen Unendlich an den Rändern und außerhalb des Kastens, d.h. dass die Wellenfunktion an den Rändern und außerhalb des Kastens verschwindet.

Abb.1
Dreidimensionaler Kasten

Die Schrödinger-Gleichung des dreidimensionalen Kastens lautet:

2 2 m ( 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 ) Ψ ( x , y , z ) = E Ψ ( x , y , z )

Entsprechend der Trennung der Variablen im Hamilton-Operator wird folgender Separationsansatz durchgeführt:

Ψ ( x , y , z ) = f ( x ) g ( y ) h ( z )

Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung führt zu:

2 2 m ( f ' ' g h + f g ' ' h + f g h ' ' ) = E f g h | 1 f g h 2 2 m ( f ' ' f + g ' ' g + h ' ' h ) = E 2 2 m f ' ' f = E + 2 2 m ( g ' ' g + h ' ' h )

Die linke Seite hängt nur von x ab und die rechte Seite nur von y und z . Also müssen beide Seiten gleich einer Konstanten z.B. E x sein und man erhält:

2 2 m f ' ' ( x ) = E x f ( x )

und analog:

2 2 m g ' ' ( y ) = E y g ( y ) 2 2 m h ' ' ( z ) = E z h ( z )

Durch die Separation der Variablen erhält man also drei Gleichungen, deren Lösung analog zum eindimensionalen Kasten erfolgt. Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung liefert:

2 2 m ( f ' ' g h + f g ' ' h + f g h ' ' ) = ( Ε x + Ε y + Ε z ) f g h

Die Gesamtwellenfunktion ergibt sich also als Produkt und die Gesamtenergie als Summe:

Ψ ( x , y , z ) = 8 a b c sin ( n x π a x ) sin ( n y π b y ) sin ( n z π c z ) E = h 2 8 m [ ( n x a ) 2 + ( n y b ) 2 + ( n z c ) 2 ]

Für einen Würfel mit a = b = c hängt die Energie von der Kantenlänge a und den Quantenzahlen n x , n y , n z ab:

E = h 2 8 m a 2 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 )

Es können verschiedene Eigenfunktionen, die einen unterschiedlichen Satz von Quantenzahlen haben, den gleichen Eigenwert der Energie annehmen. Es tritt also eine Entartung der Energieniveaus auf. Zum Beispiel haben die drei Eigenfunktionen zu den Sätzen von Quantenzahlen: ( n x = 1 , n y = 1 , n z = 2 ) , ( n x = 1 , n y = 2 , n z = 1 ) , ( n x = 2 , n y = 1 , n z = 1 ) den gleichen Energieeigenwert, nämlich:

E = 3 h 2 4 m a 2
Seite 5 von 10