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Vertiefung: Teilchen im Kasten

Dynamik bei einer Linearkombination von Eigenzuständen (nicht-stationärer Zustand)

Eine beobachtbare zeitliche Entwicklung (Dynamik) tritt erst dann auf, wenn der Zustand des Elektrons im Kasten durch eine Linearkombination von mehreren Eigenfunktionen beschrieben wird. Als einfaches Beispiel wird hier eine Überlagerung der beiden energetisch niedrigsten Eigenzustände n = 1 und n = 2 angenommen, also:

Ψ ( x , t ) = ( 1 / 2 ) [ exp ( - i 1 2 1 2 π 2 t ) 2 sin ( 1 π x ) + exp ( - i 1 2 2 2 π 2 t ) 2 sin ( 2 π x ) ] | Ψ ( x , t ) | 2 = ( Re Ψ ( x , t ) ) 2 + ( Im Ψ ( x , t ) ) 2

Die folgende Simulation zeigt die Dynamik des betrachteten Elektronenzustandes:

Abb.1
Elektron im Kasten

Linearkombination von Eigenzustände mit n =1 und n = 2. Der Realteil ist blau, der Imaginärteil grün und die Wahrscheinlichkeitsdichte ist rot dargestellt. Der rote Punkt auf der Ortsachse markiert die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchenortes.

Eine Überlagerung von Eigenzuständen stellt ein Wellenpaket dar. Im Gegensatz zu stationären Zuständen zeigen Überlagerungen von Eigenzuständen eine Dynamik, d.h. die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Wahrscheinlichkeitsdichte) und die Erwartungswerte ändern sich mit der Zeit. Obige Simulation zeigt, dass der Schwerpunkt des Wellenpaketes (Erwartungswert des Teilchenortes: roter Punkt) schon umkehrt, bevor er die Kastenwände erreicht. Das quantenmechanische Teilchen führt also eine Bewegung mit geringerer Amplitude als das klassische Teilchen aus. Dieses quantenmechanische Phänomen wird physikalisch dadurch erklärt, dass das unendlich hohe Potenzial schon auf die Enden des Paketes wirkt, bevor der Schwerpunkt die Kastenwände erreicht und somit zu einer vorzeitigen Umkehr führt.

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