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Vertiefung: Teilchen im Kasten

Teilchen im eindimensionalen Kasten: Stationäre Zustände

Befindet sich das Teilchen in einem Eigenzustand n , dann ist die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion gegeben durch:

Ψ ( x , t ) = exp ( - i E n t / ) Ψ ( x , t = 0 )

Der Anfangszustand Ψ ( x , t =0) und der Zustand Ψ ( x , t ) zu einem beliebigen Zeitpunkt t unterscheiden sich nur durch den globalen Phasenfaktor exp(- ϕ t ). Deshalb bleiben alle physikalischen Eigenschaften des Systems (z.B. Wahrscheinlichkeitsdichte und die Erwartungswerte) zeitlich unverändert. Man spricht daher von einem stationären Zustand.

Im Folgenden wird ein Elektron (Masse: m e = 9.109 10 -31 kg ) in einem Kasten der Länge 1 a 0 (atomare Längeneinheit (Bohr) a 0 = 0 .529 10 - 10 m ) betrachtet. In atomaren Einheiten gilt: m e = 1 und h 2 π = 1 . Damit ergibt sich für Energien im betrachteten Fall:

Ε = h 2 8 m L 2 n 2 = 1 2 π 2 n 2 [ Hartree ]

Falls der Zustand des Elektrons durch einen Eigenvektor beschrieben wird, dann gilt:

Ψ ( x , t ) = exp ( - i 1 2 n 2 π 2 t ) 2 sin ( n π x ) Realteil:  Re Ψ ( x , t ) = 2 cos ( 1 2 n 2 π 2 t ) sin ( n π x ) Imaginärteil:  Im Ψ ( x , t ) = 2 sin ( - 1 2 n 2 π 2 t ) sin ( n π x ) | Ψ ( x , t ) | 2 = ( Re Ψ ( x , t ) ) 2 + ( Im Ψ ( x , t ) ) 2 = const.

Nur der Real- und der Imaginärteil der Wellenfunktion ändern sich mit der Zeit. Dagegen ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, welche sich als Summe der Quadrate von Real- und Imaginärteil ergibt, zeitlich konstant. Dies wird durch die folgende Simulation veranschaulicht:

Abb.1
Elektron im Kasten

Startwellenfunktion ist die Eigenfunktion mit n = 2 (stationärer Zustand). Der Realteil ist blau, der Imaginärteil grün und die Wahrscheinlichkeitsdichte rot dargestellt.

Ein System, das durch einen Eigenzustand beschrieben wird, befindet sich in einem stationären Zustand. Stationäre Zustände sind dadurch charakterisiert, dass sich die Wahrscheinlichkeitsdichte (und Erwartungswerte) zeitlich nicht ändern.

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