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Vertiefung: Teilchen im Kasten

Teilchen im eindimensionalen Kasten: Eigenschaften der Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass Teilchen zum Zeitpunkt t im Bereich zwischen x und ( x + d x ) zu finden, ist gegeben durch:

d P ( x , t ) = | Ψ ( x , t ) | 2 d x

Das Betragsquadrat der Wellenfunktion | Ψ ( x , t ) | 2 wird als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert.

Wegen der Normierung der Eigenfunktionen liefert die Integration über die gesamte Kastenlänge:

0 L d P ( x , t ) = 0 L | Ψ ( x , t ) | 2 d x = 1

d.h. die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo im Kasten zu finden, ist Eins.

n = 0 ist verboten, weil es Ψ = sin ( n π x ) = 0 bedeuten würde.

Die Wellenfunktion ist auch bei Normierung auf Eins noch bis auf eine Phase exp( i ϕ ) ( ϕ sei reell) unbestimmt, was bedeutet, dass exp( i ϕ ) Ψ und Ψ physikalisch äquivalent sind, d.h. die Erwartungswerte sich nicht ändern:

exp ( i ϕ ) Ψ | A | exp ( i ϕ ) Ψ = exp ( i ϕ ) exp ( i ϕ ) Ψ | A | Ψ = Ψ | A | Ψ

Negatives n ist äquivalent zu positivem n , denn sin ( n π x ) = sin ( n π x ) . Ψ und - Ψ sind aber ebenfalls physikalisch äquivalent, d. h. auch hier ändern sich die Erwartungswerte nicht:

Ψ | A | Ψ = ( 1 ) ( 1 ) Ψ | A | Ψ = Ψ | A | Ψ

Die Eigenfunktionen können nach ihrem Verhalten bei Inversion an L/2 (Mitte des Kastens) nach gerade (g) und ungerade (u) klassifiziert werden. Der Kommutator des Hamilton-Operators H und des Operators der Inversion I ˆ verschwindet: [H , I ˆ ] = 0, d.h. H und I ˆ haben gemeinsame Eigenfunktionen. Die Eigenfunktionen von I ˆ sind entweder gerade oder ungerade:

Entsprechend sind die Eigenfunktionen des Teilchens im Kasten entweder gerade oder ungerade bezüglich Inversion:

  • wenn: I ˆ Ψ = + Ψ , dann heißt Ψ gerade (g)
  • wenn: I ˆ Ψ = - Ψ , dann heißt Ψ ungerade (u)
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