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Vertiefung: Teilchen im Kasten

Lösung des Eigenwertproblems

Außerhalb des Kastens ist die Wellenfunktion gleich Null, weil dort das Potenzial gegen unendlich geht. Innerhalb des Kastens verschwindet das Potenzial und es gilt:

( d 2 d x 2 + 2 m 2 E ) Ψ ( x ) = 0

Die allgemeine Lösung Ψ H A dieser homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung lautet (vgl. klassischer harmonischer Oszillator):

Ψ H A ( x ) = C 1 sin ( 2 m 2 E x ) + C 2 cos ( 2 m 2 E x )

Die Randbedingungen erfordern zusätzlich Ψ ( 0 ) = Ψ ( L ) = 0 . Man erhält also:

1. : 0 = Ψ ( x = 0 ) = C 1 sin ( 0 ) + C 2 cos ( 0 ) = C 2 C 2 = 0 2. : 0 = Ψ ( x = L ) = C 1 sin ( 2 m 2 E L ) + 0 cos ( 2 m 2 E L ) C 1 sin ( 2 m 2 E L ) = 0 2 m 2 E L = n π , n = 1 , 2 , 3 , ... Ε = n 2 π 2 2 2 m L 2 , n = 1 , 2 , 3 , ...

als Eigenwerte und

2 m 2 E = n π L Ψ ( x ) = C 1 sin ( n π L x )

als Eigenfunktionen. Bei x = L verschwindet die Wellenfunktion nur für n = 1 , 2 , 3 , ... , also wenn mindestens eine Halbwelle des Sinus in den Kasten passt. Die Konstante C 1 wird durch Normierung festgelegt, also:

1 = | Ψ ( x ) | 2 d x = C 1 2 0 L sin 2 ( n π L x ) d x = C 1 2 L 2 C 1 = 2 L
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