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Hückel-MO: Heteroatome, Acrolein

Acrolein-Beispielberechnung 2

Tab.1: Die Säkulardeterminante oder Hückel-Determinante

	1	2	3	4
1	$x$	1,0	0,0	0,0
2	1,0	$x$	1,0	0,0
3	0,0	1,0	$x$	1,93
4	0,0	0,0	1,93	$x$ +1,18

Die Determinante lässt sich als ein Polynom vierten Grades darstellen:

x^{4} + 1,18 x^{3} - 5,725 x^{2} - 2,36 x + 3.725 = 0

Die Nullstellen dieser Gleichung sind: $x_{1} = -2,7654$ $x_{2} = -1,0207$ $x_{3} = 0,6880$ $x_{4} = 1,9182$ Da $x$ =( $α$ - $ε$ )/ $β$ war, ergeben sich die Energieeigenwerte als $ε_{i}$ = $α$ - $x_{i}$ $β$ . Mit näherungsweisen, empirisch ermittelten Werten für $α$ = -11 eV und $β$ = -2,5 eV, folgt das Energie-Diagramm:

Abb.1: Energiediagramm

Für die π-Elektronen-Energie E^π folgt somit:

E^{π} = \sum_{i = 1}^{N} b_{i} ε_{i}

Die Besetzungszahl $b_{i}$ kann nur die Werte 0, 1 und 2 annehmen. Für das Acrolein-Molekül im Grundzustand beträgt dieπ-Elektronen-Gesamtenergie (4 π-Elektronen): E = 2 ( $α$ + 2,7654 $β$ ) + 2 ( $α$ + 1,0207 $β$ ) = 4 $α$ + 7,5722 $β$ . Die Energie der 4 getrennten Atome beträgt 4 $α$ + 1,18 $β$ ( $α$ je C-Atom und $α$ + 1,18 $β$ für das O-Atom). Acrolein ist somit um 6,3922 $β$ stabiler als die 4 getrennten Atome.