Beispiel Butadien: Berechnung der Eigenvektoren (HMOs)

Die Säkulargleichungen zur Berechnung der Eigenvektoren (Hückel-MOs) von Butadien lauten:

$$x_i{c}_{i1}+c_{i2}=0$$

$$c_{i1}+x_i{c}_{i2}+c_{i3}=0$$

$$c_{i2}+x_i{c}_{i3}+c_{i4}=0$$

$$c_{i3}+x_i{c}_{i4}=0$$

Für $x_1=\mathrm{-1,618}$ ergibt die Auswertung der letzten Gleichungen (von unten nach oben):

$$c_{13}=-x_1{c}_{14}=\mathrm{1,618}{c}_{14}$$

$$c_{12}=-x_1{c}_{13}-c_{14}=\mathrm{1,618}{c}_{13}-c_{14}=\mathrm{1,618}{c}_{14}$$

$$c_{11}=-x_1{c}_{12}-c_{13}=\mathrm{1,618}{c}_{12}-c_{13}=c_{14}$$

Der Koeffizient $c_{14}$ wird durch Normierung festgelegt:

$$c_{11}^2+c_{12}^2+c_{13}^2+c_{14}^2=c_{14}^2(1+{\mathrm{1,618}}^2+{\mathrm{1,618}}^2+1)=1\Rightarrow c_{14}=\mathrm{0,372}$$

Als Ergebnis erhält man folgende Koeffizienten für das Hückel-MO 1:

$$c_{11}=c_{14}=\mathrm{0,372}$$

$$c_{12}=c_{13}=\mathrm{0,602}$$

Entsprechende Rechnungen mit den anderen Eigenwerten$x_2$,$x_3$ und$x_4$ ergeben die Koeffizienten der übrigen Molekülorbitale, die in folgender Tabelle zusammengefasst sind:

Die Hückel-Molekül-Orbitale von Butadien sind auf der folgenden Seite dargestellt.