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Hückel-MO: Beispiele

Beispiel Ethen: Eigenvektoren (HMOs)

Zur Berechnung der Eigenvektoren für Ethen werden im ersten Schritt die berechneten Eigenwerte in das zur Determinante gehörige lineare Gleichungssystem (Säkulargleichungen) eingesetzt:

( α ε i β β α ε i ) ( c i 1 c i 2 ) = 0
0 = c i 1 ( α - ε i ) + c i 2 β
0 = c i 1 β + c i 2 ( α - ε i )

Dabei nummeriert der Index i die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren. Nun werden die Koeffizienten ( c ir ) unter Berücksichtigung der Normierungsbedingung ermittelt und als zu einem Energie-Eigenwert zugehöriger Eigenvektor dargestellt.

Für den ersten Eigenwert ( i =1), ε 1 = α + β , folgt:

0 = c 1 1 ( α - ( α + β ) ) + c 1 2 β
0 = c 1 1 β + c 1 2 ( α - ( α + β ) )

Also gilt: c 1 1 = c 1 2

D.h., im bindenden Hückel-Molekül-Orbital sind die Koeffizienten beider Atom-Orbitale gleich. Mit der Normierungsbedingung (Hinweis: Die Eigenvektoren sind nur bis auf einen Faktor bestimmt. Dieser Faktor wird üblicherweise durch Normierung festgelegt) ergeben sich folgende Koeffizienten:

1 = r = 1 n c i r 2

liefert hier

1 = c 11 2 + c 12 2 mit c 1 1 = c 1 2
c 11 = c 12 = 1 / 2 = 0,707 .

Analog liefert der zweite Eigenwert ε 2 ( i =2) die Koeffizienten des normierten antibindenden Hückel-MOs: c 2 1 = c 2 2 = 0,707.

Die Hückel-Molekül-Orbitale (HMOs) des Ethens lauten dann in übersichtlicher Matrix-Schreibweise:

Tab.1
Koeffizienten der HMOs von Ethen
MO 1 MO 2
AO 1 0,707 0,707
AO 2 -0,707 0,707
Charakter bindend antibindend

In der folgenden Abbildung sind die Hückel-Molekü-Oorbitale (HMOs) dargestellt (Kohlenstoff-Atome: Atom-Nr. 1 und 2, Wasserstoff-Atome: Atom-Nr. 3-6):

Abb.1
HMO 1 (HOMO, bindend)
Abb.2
HMO 2 (LUMO, antibindend)
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